---

Step * 2 of Lemma Riemann-sum-rsub


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
9. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
10. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
⊢ (Σ{(f v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2} - Σ{(g v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2})
= Σ{((f v[i]) - g v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2}
BY
{ ((RWO  "rsum_linearity-rsub<" 0 THENA Auto) THEN (BLemma `rsum_functionality` THENM D 0) THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
9. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
10. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
11. i : ℤ@i
12. 0 ≤ i@i
13. i ≤ (||v|| - 2)@i
⊢ (((f v[i]) * (v[i + 1] - v[i])) - (g v[i]) * (v[i + 1] - v[i])) = (((f v[i]) - g v[i]) * (v[i + 1] - v[i]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  icompact([a,  b])
8.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List
9.  v  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List@i
10.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  =  v@i
\mvdash{}  (\mSigma{}\{(f  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v||  -  2\}  -  \mSigma{}\{(g  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v|| 
-  2\})
=  \mSigma{}\{((f  v[i])  -  g  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v||  -  2\}


By

---

Latex:
((RWO    "rsum\_linearity-rsub<"  0  THENA  Auto)  THEN  (BLemma  `rsum\_functionality`  THENM  D  0)  THEN  Auto)

---

Home Index