---

Step * of Lemma Riemann-sums-near

∀a,b:ℝ.
  ((a < b)
  ⇒ (∀f:[a, b] ⟶ℝ. ∀mc:f[x] continuous for x ∈ [a, b]. ∀k,m,n:ℕ+.
        (((b - a/r(k)) ≤ (mc 1 n))
        ⇒ ((b - a/r(m)) ≤ (mc 1 n))
        ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k) - Riemann-sum(f;a;b;m)| ≤ ((r(2)/r(n)) * (b - a))))))
BY
{ (InstLemma `Riemann-sum-refinement` []
   THEN RepeatFor 5 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN (Assert icompact([a, b]) ∧ icompact(i-approx([a, b];1)) BY
               (RepUR ``i-approx`` 0 THEN EAuto 1))
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b@i
4. f : [a, b] ⟶ℝ@i
5. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
6. ∀k,n:ℕ+.
     ((partition-mesh([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ≤ (mc 1 n))
     ⇒ (∀m:ℕ+. (|Riemann-sum(f;a;b;k) - Riemann-sum(f;a;b;m * k)| ≤ ((r1/r(n)) * (b - a)))))
7. icompact([a, b])
8. icompact(i-approx([a, b];1))
9. k : ℕ+@i
10. m : ℕ+@i
11. n : ℕ+@i
12. (b - a/r(k)) ≤ (mc 1 n)@i
13. (b - a/r(m)) ≤ (mc 1 n)@i
⊢ |Riemann-sum(f;a;b;k) - Riemann-sum(f;a;b;m)| ≤ ((r(2)/r(n)) * (b - a))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
    ((a  <  b)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}mc:f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b].  \mforall{}k,m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
                (((b  -  a/r(k))  \mleq{}  (mc  1  n))
                {}\mRightarrow{}  ((b  -  a/r(m))  \mleq{}  (mc  1  n))
                {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k)  -  Riemann-sum(f;a;b;m)|  \mleq{}  ((r(2)/r(n))  *  (b  -  a))))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `Riemann-sum-refinement`  []
  THEN  RepeatFor  5  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  icompact([a,  b])  \mwedge{}  icompact(i-approx([a,  b];1))  BY
                          (RepUR  ``i-approx``  0  THEN  EAuto  1))
  THEN  Auto)

---

Home Index