---

Step * of Lemma Taylor-theorem-case1

∀I:Interval
  (iproper(I)
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀F:ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ. ∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .
        ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
        ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
        ⇒ b - a ≠ r0
        ⇒ (∀e:ℝ
              ((r0 < e)
              ⇒ (∃c:ℝ
                   ((rmin(a;b) ≤ c)
                   ∧ (c ≤ rmax(a;b))
                   ∧ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))))))))
BY
{ (InstLemma `derivative-Taylor-approx` []
   THEN (RepeatFor 4 ((ParallelLast' THENA Auto))
         THEN (D 0 THENA Auto)
         THEN ParallelOp -2
         THEN RepeatFor 2 ((ParallelLast' THENA Auto)))
   THEN Auto
   THEN (GenConcl ⌜Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
6. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
8. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
9. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
10. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
11. b - a ≠ r0
12. e : ℝ
13. r0 < e
14. R : ℝ
15. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
⊢ ∃c:ℝ. ((rmin(a;b) ≤ c) ∧ (c ≤ rmax(a;b)) ∧ (|R - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}F:\mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}a,b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .
                ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
                {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
                {}\mRightarrow{}  b  -  a  \mneq{}  r0
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:\mBbbR{}
                            ((r0  <  e)
                            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}
                                      ((rmin(a;b)  \mleq{}  c)
                                      \mwedge{}  (c  \mleq{}  rmax(a;b))
                                      \mwedge{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  -  (b  -  c\^{}n  *  (F[n  +  1;c]/r((n)!)))
                                          *  (b  -  a)|  \mleq{}  e))))))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `derivative-Taylor-approx`  []
  THEN  (RepeatFor  4  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
              THEN  (D  0  THENA  Auto)
              THEN  ParallelOp  -2
              THEN  RepeatFor  2  ((ParallelLast'  THENA  Auto)))
  THEN  Auto
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  =  R\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index