---

Step * 1 1 2 2 1 1 2 1 1 of Lemma alternating-series-tail-bound


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. M : ℕ
3. ∀n:ℕ. ((M ≤ n) ⇒ ((r0 ≤ x[n]) ∧ (x[n + 1] ≤ x[n])))
4. lim n→∞.x[n] = r0
5. a : {M...}
6. b : ℕ
7. a ≤ b
8. d : ℕ
9. ∀d:ℕd. ∀n,m:ℕ.
     ((a ≤ n)
     ⇒ ((m - n) ≤ d)
     ⇒ ((((-1)^n = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ x[n])))
        ∧ (((-1)^n = (-1) ∈ ℤ) ⇒ ((-(x[n]) ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ r0)))))
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. a ≤ n
13. (m - n) ≤ d
14. n < m
15. ((-1)^(n + 1) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m} ≤ x[n + 1]))
16. (-1)^n = 1 ∈ ℤ
17. v : ℝ
18. Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m} = v ∈ ℝ
19. -(x[n + 1]) ≤ v
20. v ≤ r0
⊢ r0 ≤ ((r1 * x[n]) + v)
BY
{ nRAdd ⌜-(x[n])⌝ 0⋅ }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. M : ℕ
3. ∀n:ℕ. ((M ≤ n) ⇒ ((r0 ≤ x[n]) ∧ (x[n + 1] ≤ x[n])))
4. lim n→∞.x[n] = r0
5. a : {M...}
6. b : ℕ
7. a ≤ b
8. d : ℕ
9. ∀d:ℕd. ∀n,m:ℕ.
     ((a ≤ n)
     ⇒ ((m - n) ≤ d)
     ⇒ ((((-1)^n = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ x[n])))
        ∧ (((-1)^n = (-1) ∈ ℤ) ⇒ ((-(x[n]) ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n≤i≤m} ≤ r0)))))
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. a ≤ n
13. (m - n) ≤ d
14. n < m
15. ((-1)^(n + 1) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((r0 ≤ Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m}) ∧ (Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m} ≤ x[n + 1]))
16. (-1)^n = 1 ∈ ℤ
17. v : ℝ
18. Σ{r(-1)^i * x[i] | n + 1≤i≤m} = v ∈ ℝ
19. -(x[n + 1]) ≤ v
20. v ≤ r0
⊢ -(x[n]) ≤ v

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  M  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((M  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  x[n])  \mwedge{}  (x[n  +  1]  \mleq{}  x[n])))
4.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  r0
5.  a  :  \{M...\}
6.  b  :  \mBbbN{}
7.  a  \mleq{}  b
8.  d  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.
          ((a  \mleq{}  n)
          {}\mRightarrow{}  ((m  -  n)  \mleq{}  d)
          {}\mRightarrow{}  ((((-1)\^{}n  =  1)  {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\})  \mwedge{}  (\mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  x[n])))
                \mwedge{}  (((-1)\^{}n  =  (-1))
                    {}\mRightarrow{}  ((-(x[n])  \mleq{}  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\})  \mwedge{}  (\mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  r0)))))
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  a  \mleq{}  n
13.  (m  -  n)  \mleq{}  d
14.  n  <  m
15.  ((-1)\^{}(n  +  1)  =  1)
{}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\})  \mwedge{}  (\mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  x[n  +  1]))
16.  (-1)\^{}n  =  1
17.  v  :  \mBbbR{}
18.  \mSigma{}\{r(-1)\^{}i  *  x[i]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  =  v
19.  -(x[n  +  1])  \mleq{}  v
20.  v  \mleq{}  r0
\mvdash{}  r0  \mleq{}  ((r1  *  x[n])  +  v)


By

---

Latex:
nRAdd  \mkleeneopen{}-(x[n])\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index