---

Step * 2 1 1 of Lemma cantor-interval-cauchy


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. k : ℕ+
6. ∀[n:ℕ]. ∀[m:{n...}].
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
7. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ 𝔹].  (((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) = (2^n * b - a)/3^n)
8. N : ℕ
9. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((2^n * b - a)/3^n ≤ (r1/r(k))))
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. N ≤ n
13. N ≤ m
14. (2^n * b - a)/3^n ≤ (r1/r(k))
15. n ≤ m
16. ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
17. ((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) = (2^n * b - a)/3^n
⊢ |(fst(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;m))| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((Assert ((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (r1/r(k)) BY
          Auto)
   THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-3)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜cantor-interval(a;b;f;n)⌝;⌜cantor-interval(a;b;f;m)⌝]⋅
   THEN D -4
   THEN D -2
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. k : ℕ+
6. ∀[n:ℕ]. ∀[m:{n...}].
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
7. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ 𝔹].  (((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) = (2^n * b - a)/3^n)
8. N : ℕ
9. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((2^n * b - a)/3^n ≤ (r1/r(k))))
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. N ≤ n
13. N ≤ m
14. (2^n * b - a)/3^n ≤ (r1/r(k))
15. n ≤ m
16. ((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) = (2^n * b - a)/3^n
17. ((snd(cantor-interval(a;b;f;n))) - fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (r1/r(k))
18. v2 : ℝ
19. v3 : ℝ
20. cantor-interval(a;b;f;n) = <v2, v3> ∈ (ℝ × ℝ)
21. v4 : ℝ
22. v5 : ℝ
23. cantor-interval(a;b;f;m) = <v4, v5> ∈ (ℝ × ℝ)
24. v2 ≤ v4
25. v4 ≤ v5
26. v5 ≤ v3
⊢ |v2 - v4| ≤ (v3 - v2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[m:\{n...\}].
          (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
          \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
          \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
7.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
          (((snd(cantor-interval(a;b;f;n)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  =  (2\^{}n  *  b  -  a)/3\^{}n)
8.  N  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((2\^{}n  *  b  -  a)/3\^{}n  \mleq{}  (r1/r(k))))
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  N  \mleq{}  n
13.  N  \mleq{}  m
14.  (2\^{}n  *  b  -  a)/3\^{}n  \mleq{}  (r1/r(k))
15.  n  \mleq{}  m
16.  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
\mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
\mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
17.  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  =  (2\^{}n  *  b  -  a)/3\^{}n
\mvdash{}  |(fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;m))|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((Assert  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (r1/r(k))  BY
                Auto)
  THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-3)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}cantor-interval(a;b;f;n)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cantor-interval(a;b;f;m)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  D  -4
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index