---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-common


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. ∀a,b:ℝ.
      (((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∧ (y ∈ [(2 * a + b)/3, b]))
         ∨ ((x ∈ [a, (a + 2 * b)/3]) ∧ (y ∈ [a, (a + 2 * b)/3]))) supposing 
         (((x ∈ [a, b]) ∧ (y ∈ [a, b]) ∧ (|x - y| ≤ (b - a/r(6)))) and 
         (a < b))
11. m : ℕ
12. m + 1 ≠ 0
13. ∀m:ℕm. ∀f:ℕm ⟶ 𝔹.
      ∃g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
                     ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
                     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))]))] 
      supposing (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (m ≤ n)
14. f : ℕm ⟶ 𝔹
15. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
16. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
17. m ≤ n
18. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
19. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
⊢ |x - y| ≤ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) - fst(cantor-interval(a;b;f;m))/r(6))
BY
{ ((RWO "cantor-interval-length" 0 THENA Auto) THEN (RWO  "9" 0 THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. ∀a,b:ℝ.
      (((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∧ (y ∈ [(2 * a + b)/3, b]))
         ∨ ((x ∈ [a, (a + 2 * b)/3]) ∧ (y ∈ [a, (a + 2 * b)/3]))) supposing 
         (((x ∈ [a, b]) ∧ (y ∈ [a, b]) ∧ (|x - y| ≤ (b - a/r(6)))) and 
         (a < b))
11. m : ℕ
12. m + 1 ≠ 0
13. ∀m:ℕm. ∀f:ℕm ⟶ 𝔹.
      ∃g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
                     ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
                     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))]))] 
      supposing (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (m ≤ n)
14. f : ℕm ⟶ 𝔹
15. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
16. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
17. m ≤ n
18. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
19. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
⊢ (2^n * b - a)/6 * 3^n ≤ ((2^m * b - a)/3^m/r(6))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  y  :  \mBbbR{}
6.  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  y  \mmember{}  [a,  b]
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  |x  -  y|  \mleq{}  (2\^{}n  *  b  -  a)/6  *  3\^{}n
10.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b]))
                  \mvee{}  ((x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3])))  supposing 
                  (((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (b  -  a/r(6))))  and 
                  (a  <  b))
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  m  +  1  \mneq{}  0
13.  \mforall{}m:\mBbbN{}m.  \mforall{}f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
            \mexists{}g:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                          \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m  +  1))])
                                          \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m
                                                        +  1))]))] 
            supposing  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
            \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
            \mwedge{}  (m  \mleq{}  n)
14.  f  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
15.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
16.  y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
17.  m  \mleq{}  n
18.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
19.  y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))]
\mvdash{}  |x  -  y|  \mleq{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;m)))  -  fst(cantor-interval(a;b;f;m))/r(6))


By

---

Latex:
((RWO  "cantor-interval-length"  0  THENA  Auto)  THEN  (RWO    "9"  0  THENA  Auto))

---

Home Index