---

Step * 1 1 2 1 2 of Lemma cantor-to-interval-onto-common


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. ∀a,b:ℝ.
      (((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∧ (y ∈ [(2 * a + b)/3, b]))
         ∨ ((x ∈ [a, (a + 2 * b)/3]) ∧ (y ∈ [a, (a + 2 * b)/3]))) supposing 
         (((x ∈ [a, b]) ∧ (y ∈ [a, b]) ∧ (|x - y| ≤ (b - a/r(6)))) and 
         (a < b))
11. ∀m:ℕ. ∀f:ℕm ⟶ 𝔹.
      ∃g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
                     ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
                     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))]))] 
      supposing (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (m ≤ n)
12. ∀m:ℕn + 1. ∀f:{f:ℕm ⟶ 𝔹| 
                   (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
                   ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])} .
      ∃g:{g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹| 
          (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
          ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])} 
       (g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
⊢ ∃f:ℕn ⟶ 𝔹
   ∀m:ℕn + 1
     ((x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]))
BY
{ TACTIC:(Skolemize (-1) `g'  THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. ∀a,b:ℝ.
      (((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∧ (y ∈ [(2 * a + b)/3, b]))
         ∨ ((x ∈ [a, (a + 2 * b)/3]) ∧ (y ∈ [a, (a + 2 * b)/3]))) supposing 
         (((x ∈ [a, b]) ∧ (y ∈ [a, b]) ∧ (|x - y| ≤ (b - a/r(6)))) and 
         (a < b))
11. ∀m:ℕ. ∀f:ℕm ⟶ 𝔹.
      ∃g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
                     ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
                     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))]))] 
      supposing (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (m ≤ n)
12. ∀m:ℕn + 1. ∀f:{f:ℕm ⟶ 𝔹| 
                   (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
                   ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])} .
      ∃g:{g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹| 
          (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
          ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])} 
       (g = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
13. g : m:ℕn + 1
⟶ f:{f:ℕm ⟶ 𝔹| 
      (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
      ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])} 
⟶ {g:ℕm + 1 ⟶ 𝔹| 
    (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])
    ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;m + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;m + 1))])} 
14. ∀m:ℕn + 1. ∀f:{f:ℕm ⟶ 𝔹| 
                   (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
                   ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])} .
      ((g m f) = f ∈ (ℕm ⟶ 𝔹))
⊢ ∃f:ℕn ⟶ 𝔹
   ∀m:ℕn + 1
     ((x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
     ∧ (y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;m)), snd(cantor-interval(a;b;f;m))]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  [\%]  :  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  y  :  \mBbbR{}
6.  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  y  \mmember{}  [a,  b]
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  |x  -  y|  \mleq{}  (2\^{}n  *  b  -  a)/6  *  3\^{}n
10.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b]))
                  \mvee{}  ((x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3])))  supposing 
                  (((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (y  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (b  -  a/r(6))))  and 
                  (a  <  b))
11.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
            \mexists{}g:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                          \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m  +  1))])
                                          \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m
                                                        +  1))]))] 
            supposing  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
            \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
            \mwedge{}  (m  \mleq{}  n)
12.  \mforall{}m:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}f:\{f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}| 
                                      (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
                                      \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])\}  .
            \mexists{}g:\{g:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}| 
                    (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m  +  1))])
                    \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;m  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;m  +  1))])\} 
              (g  =  f)
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
      \mforall{}m:\mBbbN{}n  +  1
          ((x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))])
          \mwedge{}  (y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;m)),  snd(cantor-interval(a;b;f;m))]))


By

---

Latex:
TACTIC:(Skolemize  (-1)  `g'    THENA  Auto)

---

Home Index