---

Step * 2 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-common


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. f : ℕn ⟶ 𝔹
11. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
12. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ 𝔹. (((cantor-to-interval(a;b;f) = x) ∧ (cantor-to-interval(a;b;g) = y)) ∧ (f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)))
BY
{ Assert ⌜(∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = x) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))
          ∧ (∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = y) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. f : ℕn ⟶ 𝔹
11. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
12. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ (∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = x) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))
∧ (∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = y) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. x ∈ [a, b]
7. y ∈ [a, b]
8. n : ℕ
9. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
10. f : ℕn ⟶ 𝔹
11. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
12. y ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
13. (∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = x) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))
∧ (∃g:ℕ ⟶ 𝔹. ((cantor-to-interval(a;b;g) = y) ∧ (g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))))
⊢ ∃f,g:ℕ ⟶ 𝔹. (((cantor-to-interval(a;b;f) = x) ∧ (cantor-to-interval(a;b;g) = y)) ∧ (f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  [\%]  :  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  y  :  \mBbbR{}
6.  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  y  \mmember{}  [a,  b]
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  |x  -  y|  \mleq{}  (2\^{}n  *  b  -  a)/6  *  3\^{}n
10.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
11.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
12.  y  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
\mvdash{}  \mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (((cantor-to-interval(a;b;f)  =  x)  \mwedge{}  (cantor-to-interval(a;b;g)  =  y))  \mwedge{}  (f  =  g))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  ((cantor-to-interval(a;b;g)  =  x)  \mwedge{}  (g  =  f)))
                \mwedge{}  (\mexists{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  ((cantor-to-interval(a;b;g)  =  y)  \mwedge{}  (g  =  f)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index