---

Step * 1 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-lemma

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
⊢ ∀n:ℕ. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
    ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                   ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
    supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
BY
{ CompleteInductionOnNat }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ ∀f:ℕn ⟶ 𝔹
    ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                   ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
    supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  [\%]  :  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mvee{}  (x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3]))  supposing  ((x  \mmember{}  [a,  b])  and  (a  <  b))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
        \mexists{}g:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                      \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;n  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;n  +  1))]))] 
        supposing  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]


By

---

Latex:
CompleteInductionOnNat

---

Home Index