---

Step * 1 1 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-lemma


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ ∀f:ℕn ⟶ 𝔹
    ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                   ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
    supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
BY
{ (RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert ⌜x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]⌝⋅ THENA (Unhide THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   THEN Unfold `cantor-interval` 0
   THEN (RWO "primrec-unroll" 0 THENA Auto)
   THEN Fold `cantor-interval` 0
   THEN (BoolCase ⌜(n + 1 =z 0)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. [%] : a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. n + 1 ≠ 0
8. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9. f : ℕn ⟶ 𝔹
10. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                 ∧ ((fst(if n + 1 <z 1
                   then <a, b>
                   else let a',b' = cantor-interval(a;b;g;(n + 1) - 1) 
                        in if g ((n + 1) - 1) then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
                   fi )) ≤ x)
                 ∧ (x ≤ (snd(if n + 1 <z 1
                   then <a, b>
                   else let a',b' = cantor-interval(a;b;g;(n + 1) - 1) 
                        in if g ((n + 1) - 1) then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
                   fi ))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  [\%]  :  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mvee{}  (x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3]))  supposing  ((x  \mmember{}  [a,  b])  and  (a  <  b))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          \mexists{}g:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                        \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;n  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;n
                                                      +  1))]))] 
          supposing  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
\mvdash{}  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
        \mexists{}g:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                      \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;n  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;n  +  1))]))] 
        supposing  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (Unhide  THEN  Auto)
              )
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  Unfold  `cantor-interval`  0
  THEN  (RWO  "primrec-unroll"  0  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `cantor-interval`  0
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(n  +  1  =\msubz{}  0)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index