---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 of Lemma chain-rule_0


1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. g : J ⟶ℝ
6. g' : J ⟶ℝ
7. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
8. f'[x] (proper)continuous for x ∈ I
9. g'[x] (proper)continuous for x ∈ J
10. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
11. d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
12. k : ℕ+
13. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
14. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m)) ∧ iproper(i-approx(J;m))} 
15. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} . (f[x] ∈ i-approx(J;m))
16. mc1 : f'[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
17. ∃a:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;n)} ]. (|f'[x]| ≤ a)
18. mc2 : g'[x] continuous for x ∈ i-approx(J;m)
19. ∃b:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(J;m)} ]. (|g'[x]| ≤ b)
20. f' ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
21. A : ℕ+
22. ∀r:ℝ. ((r ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|f'[r]| ≤ (r(A)/r(2 * k))))
23. g ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
24. g' ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
25. f ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
26. ∃d:ℝ
     ((r0 < d)
     ∧ (∀x,y:ℝ.
          ((x ∈ i-approx(I;n))
          ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
          ⇒ (|y - x| ≤ d)
          ⇒ (|g[f[y]] - g[f[x]] - g'[f[x]] * (f[y] - f[x])| ≤ ((r1/r(A)) * |f[y] - f[x]|)))))
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|g[f[y]] - g[f[x]] - (g'[f[x]] * f'[x]) * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]
BY
{ RepeatFor 2 (D (-1)) }

1
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. g : J ⟶ℝ
6. g' : J ⟶ℝ
7. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
8. f'[x] (proper)continuous for x ∈ I
9. g'[x] (proper)continuous for x ∈ J
10. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
11. d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
12. k : ℕ+
13. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
14. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m)) ∧ iproper(i-approx(J;m))} 
15. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} . (f[x] ∈ i-approx(J;m))
16. mc1 : f'[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
17. ∃a:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;n)} ]. (|f'[x]| ≤ a)
18. mc2 : g'[x] continuous for x ∈ i-approx(J;m)
19. ∃b:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(J;m)} ]. (|g'[x]| ≤ b)
20. f' ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
21. A : ℕ+
22. ∀r:ℝ. ((r ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|f'[r]| ≤ (r(A)/r(2 * k))))
23. g ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
24. g' ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
25. f ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
26. d : ℝ
27. r0 < d
28. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ d)
      ⇒ (|g[f[y]] - g[f[x]] - g'[f[x]] * (f[y] - f[x])| ≤ ((r1/r(A)) * |f[y] - f[x]|)))
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|g[f[y]] - g[f[x]] - (g'[f[x]] * f'[x]) * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g  :  J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  g'  :  J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  f[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  f'[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
9.  g'[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  J
10.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
11.  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.g'[x]  on  J
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))\} 
14.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(J;m))  \mwedge{}  iproper(i-approx(J;m))\} 
15.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  .  (f[x]  \mmember{}  i-approx(J;m))
16.  mc1  :  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
17.  \mexists{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}[x:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  ].  (|f'[x]|  \mleq{}  a)
18.  mc2  :  g'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(J;m)
19.  \mexists{}b:\mBbbR{}.  \mforall{}[x:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  i-approx(J;m)\}  ].  (|g'[x]|  \mleq{}  b)
20.  f'  \mmember{}  i-approx(I;n)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
21.  A  :  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  \mforall{}r:\mBbbR{}.  ((r  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (|f'[r]|  \mleq{}  (r(A)/r(2  *  k))))
23.  g  \mmember{}  i-approx(J;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
24.  g'  \mmember{}  i-approx(J;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
25.  f  \mmember{}  i-approx(I;n)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
26.  \mexists{}d:\mBbbR{}
          ((r0  <  d)
          \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                    ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                    {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                    {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)
                    {}\mRightarrow{}  (|g[f[y]]  -  g[f[x]]  -  g'[f[x]]  *  (f[y]  -  f[x])|  \mleq{}  ((r1/r(A))  *  |f[y]  -  f[x]|)))))
\mvdash{}  \mexists{}del:\mBbbR{}  [((r0  <  del)
                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
                            {}\mRightarrow{}  (|g[f[y]]  -  g[f[x]]  -  (g'[f[x]]  *  f'[x])  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)))))]


By

---

Latex:
RepeatFor  2  (D  (-1))

---

Home Index