---

Step * of Lemma chain-rule

∀I,J:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':J ⟶ℝ.
  (iproper(J)
  ⇒ maps-compact(I;J;x.f[x])
  ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
  ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y])))
  ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
  ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
  ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
BY
{ (InstLemma `chain-rule_0` []
   THEN RepeatFor 8 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN Auto
   THEN BackThruSomeHyp
   THEN Auto
   THEN Try ((BLemma `function-proper-continuous` THEN Complete (Auto)))) }

1
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. g : J ⟶ℝ
6. g' : J ⟶ℝ
7. iproper(J)
8. maps-compact(I;J;x.f[x])
9. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
⇒ f'[x] (proper)continuous for x ∈ I
⇒ g'[x] (proper)continuous for x ∈ J
⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
11. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x = y) ⇒ (g'[x] = g'[y]))
12. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
13. d(g[x])/dx = λx.g'[x] on J
⊢ f[x] (proper)continuous for x ∈ I

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I,J:Interval.  \mforall{}f,f':I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}g,g':J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    (iproper(J)
    {}\mRightarrow{}  maps-compact(I;J;x.f[x])
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g'[x]  =  g'[y])))
    {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
    {}\mRightarrow{}  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.g'[x]  on  J
    {}\mRightarrow{}  d(g[f[x]])/dx  =  \mlambda{}x.g'[f[x]]  *  f'[x]  on  I)


By

---

Latex:
(InstLemma  `chain-rule\_0`  []
  THEN  RepeatFor  8  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  Auto
  THEN  BackThruSomeHyp
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((BLemma  `function-proper-continuous`  THEN  Complete  (Auto))))

---

Home Index