---

Step * 1 1 1 of Lemma closures-meet-sq

.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. ∀a:{a:ℝ| P a} . ∀b:{b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} .
     ∃a':{a':ℝ| P a'} . (∃b':{b':ℝ| (Q b') ∧ (a' ≤ b')}  [((a ≤ a') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))])
9. <a0, b0> ∈ a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
⊢ ∀ab:a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
    ∃ab':a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
     (((fst(ab)) ≤ (fst(ab'))) ∧ ((snd(ab')) ≤ (snd(ab))) ∧ (((snd(ab')) - fst(ab')) ≤ (((snd(ab)) - fst(ab)) * c)))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (D -4 With ⌜a⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜a1⌝  THEN Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -1)
   THEN D 0 With ⌜<a', b'>⌝ 
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  [\%4]  :  (Q  b0)  \mwedge{}  (a0  \mleq{}  b0)
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  [\%5]  :  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)
8.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}a':\{a':\mBbbR{}|  P  a'\}  .  (\mexists{}b':\{b':\mBbbR{}|  (Q  b')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')\}    [((a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  \000Ca)  *  c)))])
9.  <a0,  b0>  \mmember{}  a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
\mvdash{}  \mforall{}ab:a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
        \mexists{}ab':a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
          (((fst(ab))  \mleq{}  (fst(ab')))
          \mwedge{}  ((snd(ab'))  \mleq{}  (snd(ab)))
          \mwedge{}  (((snd(ab'))  -  fst(ab'))  \mleq{}  (((snd(ab))  -  fst(ab))  *  c)))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (D  -4  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -1)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}<a',  b'>\mkleeneclose{} 
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index