---

Step * 2 of Lemma closures-meet-sq


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. ∀a:{a:ℝ| P a} . ∀b:{b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} .
     ∃a':{a':ℝ| P a'} . (∃b':{b':ℝ| (Q b') ∧ (a' ≤ b')}  [((a ≤ a') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))])
9. ∃s:ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} ) [(∀n:ℕ
                                                    (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
                                                    ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
                                                    ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n]))
                                                      * c))))]
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(λz.(↓P z)) ∧ y ∈ closure(λz.(↓Q z)))
BY
{ (Thin (-2)
   THEN D -1
   THEN (Assert ∀n:ℕ
                  (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
                  ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
                  ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c))) BY
               (Unhide THEN Auto))
   THEN Thin (-2)) }

1
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
9. ∀n:ℕ
     (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
     ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
     ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(λz.(↓P z)) ∧ y ∈ closure(λz.(↓Q z)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  [\%4]  :  (Q  b0)  \mwedge{}  (a0  \mleq{}  b0)
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  [\%5]  :  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)
8.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}a':\{a':\mBbbR{}|  P  a'\}  .  (\mexists{}b':\{b':\mBbbR{}|  (Q  b')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')\}    [((a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  \000Ca)  *  c)))])
9.  \mexists{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )  [(\mforall{}n:\mBbbN{}
                                                                                                        (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
                                                                                                        \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
                                                                                                        \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n
                                                                                                            +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c))))]
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}P  z))  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}Q  z)))


By

---

Latex:
(Thin  (-2)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}
                                (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
                                \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
                                \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n  +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c)))  BY
                          (Unhide  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2))

---

Home Index