---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma common-limit-midpoints


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. ∀n:ℕ. (((a[n + 1] = a[n]) ∧ (b[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2)))) ∨ ((a[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2))) ∧ (b[n + 1] = b[n])))
4. ∀n:ℕ. ((r(2^n) * |a[n] - b[n]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
5. ∀n,d:ℕ.
     (((r(2^n) * |a[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |a[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|))
6. k : ℕ+
7. n : ℕ
8. r(-n) ≤ |a[0] - b[0]|
9. (k * (n + 1)) ≤ 2^log(2;k * (n + 1))
10. j : ℕ
11. m : ℕ
12. log(2;k * (n + 1)) ≤ j
13. log(2;k * (n + 1)) ≤ m
14. ((k * (n + 1)) ≤ 2^j) ∧ ((k * (n + 1)) ≤ 2^m)
15. j ≤ m
16. v : ℝ
17. (a[j] - a[m]) = v ∈ ℝ
18. v1 : ℝ
19. (a[0] - b[0]) = v1 ∈ ℝ
⊢ (|v1| ≤ r(n)) ⇒ ((r(2^j) * |v|) ≤ |v1|) ⇒ (|v| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ ((Assert r(k * (n + 1)) ≤ r(2^j) BY
          Auto)
   THEN Auto
   THEN nRMul ⌜r(2^j)⌝ 0⋅
   THEN (RWW "-1 -2" 0 THENA Auto)
   THEN nRMul ⌜r(k)⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((a[n  +  1]  =  a[n])  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2))))
          \mvee{}  ((a[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2)))  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  b[n])))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
5.  \mforall{}n,d:\mBbbN{}.
          (((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|))
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  r(-n)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|
9.  (k  *  (n  +  1))  \mleq{}  2\^{}log(2;k  *  (n  +  1))
10.  j  :  \mBbbN{}
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  log(2;k  *  (n  +  1))  \mleq{}  j
13.  log(2;k  *  (n  +  1))  \mleq{}  m
14.  ((k  *  (n  +  1))  \mleq{}  2\^{}j)  \mwedge{}  ((k  *  (n  +  1))  \mleq{}  2\^{}m)
15.  j  \mleq{}  m
16.  v  :  \mBbbR{}
17.  (a[j]  -  a[m])  =  v
18.  v1  :  \mBbbR{}
19.  (a[0]  -  b[0])  =  v1
\mvdash{}  (|v1|  \mleq{}  r(n))  {}\mRightarrow{}  ((r(2\^{}j)  *  |v|)  \mleq{}  |v1|)  {}\mRightarrow{}  (|v|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
((Assert  r(k  *  (n  +  1))  \mleq{}  r(2\^{}j)  BY
                Auto)
  THEN  Auto
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2\^{}j)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  (RWW  "-1  -2"  0  THENA  Auto)
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(k)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index