---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma common-limit-midpoints


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. ∀n:ℕ. (((a[n + 1] = a[n]) ∧ (b[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2)))) ∨ ((a[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2))) ∧ (b[n + 1] = b[n])))
4. ∀n:ℕ. ((r(2^n) * |a[n] - b[n]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
5. ∀n,d:ℕ.
     (((r(2^n) * |a[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |a[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|))
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ |a[0] - b[0]|
8. |a[0] - b[0]| ≤ r(n)
9. y : ℝ
10. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
11. k : ℕ+
12. (k * (n + 1)) ≤ 2^log(2;k * (n + 1))
13. j : ℕ
14. log(2;k * (n + 1)) ≤ j
15. (k * (n + 1)) ≤ 2^j
⊢ |a[j] - b[j]| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((Assert (r(2^j) * |a[j] - b[j]|) ≤ |a[0] - b[0]| BY
          Auto)
   THEN (RWO "-9" (-1) THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerm ⌜a[j] - b[j]⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℕ ⟶ ℝ
3. ∀n:ℕ. (((a[n + 1] = a[n]) ∧ (b[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2)))) ∨ ((a[n + 1] = (a[n] + b[n]/r(2))) ∧ (b[n + 1] = b[n])))
4. ∀n:ℕ. ((r(2^n) * |a[n] - b[n]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
5. ∀n,d:ℕ.
     (((r(2^n) * |a[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |a[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - a[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|)
     ∧ ((r(2^n) * |b[n] - b[n + d]|) ≤ |a[0] - b[0]|))
6. n : ℕ
7. r(-n) ≤ |a[0] - b[0]|
8. |a[0] - b[0]| ≤ r(n)
9. y : ℝ
10. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|a[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
11. k : ℕ+
12. (k * (n + 1)) ≤ 2^log(2;k * (n + 1))
13. j : ℕ
14. log(2;k * (n + 1)) ≤ j
15. (k * (n + 1)) ≤ 2^j
16. v : ℝ
17. (a[j] - b[j]) = v ∈ ℝ
18. (r(2^j) * |v|) ≤ r(n)
⊢ |v| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((a[n  +  1]  =  a[n])  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2))))
          \mvee{}  ((a[n  +  1]  =  (a[n]  +  b[n]/r(2)))  \mwedge{}  (b[n  +  1]  =  b[n])))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
5.  \mforall{}n,d:\mBbbN{}.
          (((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |a[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  a[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|)
          \mwedge{}  ((r(2\^{}n)  *  |b[n]  -  b[n  +  d]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  r(-n)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|
8.  |a[0]  -  b[0]|  \mleq{}  r(n)
9.  y  :  \mBbbR{}
10.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|a[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
11.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  (k  *  (n  +  1))  \mleq{}  2\^{}log(2;k  *  (n  +  1))
13.  j  :  \mBbbN{}
14.  log(2;k  *  (n  +  1))  \mleq{}  j
15.  (k  *  (n  +  1))  \mleq{}  2\^{}j
\mvdash{}  |a[j]  -  b[j]|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((Assert  (r(2\^{}j)  *  |a[j]  -  b[j]|)  \mleq{}  |a[0]  -  b[0]|  BY
                Auto)
  THEN  (RWO  "-9"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}a[j]  -  b[j]\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index