---

Step * 1 1 2 of Lemma compact-metric-to-metric-continuity


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
9. k : ℕ+
10. mtb2 : m-TB(i:ℕ2 ⟶ X;prod-metric(2;λ2i.d))
11. cmp2 : mcomplete(i:ℕ2 ⟶ X with prod-metric(2;λi.d))
12. UC(λp.mdist(dY;f (p 0);f (p 1)):i:ℕ2 ⟶ X ⟶ ℝ)
⊢ ∃delta:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dY;f x;f y) ≤ (r1/r(k))))
BY
{ (RepUR ``m-unif-cont mdist rmetric`` -1 THEN Fold `mdist` (-1)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
9. k : ℕ+
10. mtb2 : m-TB(i:ℕ2 ⟶ X;prod-metric(2;λ2i.d))
11. cmp2 : mcomplete(i:ℕ2 ⟶ X with prod-metric(2;λi.d))
12. ∀k:ℕ+
      ∃delta:{d:ℝ| r0 < d} 
       ∀x,y:i:ℕ2 ⟶ X.
         ((mdist(prod-metric(2;λi.d);x;y) ≤ delta)
         ⇒ (|mdist(dY;f (x 0);f (x 1)) - mdist(dY;f (y 0);f (y 1))| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃delta:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dY;f x;f y) ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  cmplt  :  mcomplete(X  with  d)
4.  mtb  :  m-TB(X;d)
5.  Y  :  Type
6.  dY  :  metric(Y)
7.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  Y
8.  \mforall{}x,y:X.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  mtb2  :  m-TB(i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X;prod-metric(2;\mlambda{}\msubtwo{}i.d))
11.  cmp2  :  mcomplete(i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X  with  prod-metric(2;\mlambda{}i.d))
12.  UC(\mlambda{}p.mdist(dY;f  (p  0);f  (p  1)):i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
\mvdash{}  \mexists{}delta:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(dY;f  x;f  y)  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
(RepUR  ``m-unif-cont  mdist  rmetric``  -1  THEN  Fold  `mdist`  (-1))

---

Home Index