---

Step * 1 2 1 1 2 1 1 1 of Lemma concave-positive-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. i-approx(I;m) ⊆ I 
7. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
8. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
10. x : ℝ
11. x ∈ i-approx(I;m)
12. r0 < f[x]
13. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
14. t : ℝ
15. r0 ≤ t
16. t ≤ r1
17. x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))
18. (t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))) ∈ I
19. ((t * f[left-endpoint(i-approx(I;m))]) + ((r1 - t) * f[right-endpoint(i-approx(I;m))])) ≤ f[(t
* left-endpoint(i-approx(I;m)))
+ ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))]
⊢ rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))]) ≤ f[x]
BY
{ (((FHyp 3 [-3] THENA Auto) THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) THEN RWO "-2<" 0 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. i-approx(I;m) ⊆ I 
7. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
8. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
10. x : ℝ
11. x ∈ i-approx(I;m)
12. r0 < f[x]
13. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
14. t : ℝ
15. r0 ≤ t
16. t ≤ r1
17. x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))
18. (t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))) ∈ I
19. ((t * f[left-endpoint(i-approx(I;m))]) + ((r1 - t) * f[right-endpoint(i-approx(I;m))])) ≤ f[(t
* left-endpoint(i-approx(I;m)))
+ ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))]
20. f[x] = f[(t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m)))]
⊢ rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))]) ≤ ((t * f[left-endpoint(i-approx(I;m))])
+ ((r1 - t) * f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  f[x]))
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
6.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
7.  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
8.  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
9.  r0  <  rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
10.  x  :  \mBbbR{}
11.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
12.  r0  <  f[x]
13.  left-endpoint(i-approx(I;m))  <  right-endpoint(i-approx(I;m))
14.  t  :  \mBbbR{}
15.  r0  \mleq{}  t
16.  t  \mleq{}  r1
17.  x  =  ((t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m))))
18.  (t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))  \mmember{}  I
19.  ((t  *  f[left-endpoint(i-approx(I;m))])  +  ((r1  -  t)  *  f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))  \mleq{}  f[(t
*  left-endpoint(i-approx(I;m)))
+  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m)))]
\mvdash{}  rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])  \mleq{}  f[x]


By

---

Latex:
(((FHyp  3  [-3]  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))  THEN  RWO  "-2<"  0  THEN  Auto)

---

Home Index