---

Step * 1 1 of Lemma continuous-composition-from-maps-compact

.....set predicate..... 
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : I ⟶ℝ
4. g : J ⟶ℝ
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. n : ℕ+
7. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
8. M : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . (f[x] ∈ i-approx(J;M))
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:ℝ [((r0 < d)
            ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (y ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
11. d : ℝ
12. (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (y ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r(n)))))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < d
15. d1 : ℝ
16. (r0 < d1) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d1) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k)))))
⊢ (r0 < d1)
∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d1) ⇒ (|g[f[x]] - g[f[y]]| ≤ (r1/r(n)))))
BY
{ RepeatFor 6 ((ParallelLast' THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. J : Interval
3. f : I ⟶ℝ
4. g : J ⟶ℝ
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. n : ℕ+
7. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
8. M : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . (f[x] ∈ i-approx(J;M))
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:ℝ [((r0 < d)
            ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (y ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
11. d : ℝ
12. (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (y ∈ i-approx(J;M)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r(n)))))
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < d
15. d1 : ℝ
16. r0 < d1
17. x : ℝ
18. y : ℝ
19. x ∈ i-approx(I;m)
20. y ∈ i-approx(I;m)
21. |x - y| ≤ d1
22. |f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))
⊢ |g[f[x]] - g[f[y]]| ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  I  :  Interval
2.  J  :  Interval
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
8.  M  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(J;m))\} 
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  (f[x]  \mmember{}  i-approx(J;M))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                        \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                  ((x  \mmember{}  i-approx(J;M))
                                  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(J;M))
                                  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                  {}\mRightarrow{}  (|g[x]  -  g[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  (r0  <  d)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(J;M))  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(J;M))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|g[x]  -  g[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  (r1/r(k))  <  d
15.  d1  :  \mBbbR{}
16.  (r0  <  d1)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d1)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))
\mvdash{}  (r0  <  d1)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d1)
          {}\mRightarrow{}  (|g[f[x]]  -  g[f[y]]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))


By

---

Latex:
RepeatFor  6  ((ParallelLast'  THENA  Auto))

---

Home Index