Nuprl Lemma : continuous-sum
∀I:Interval. ∀n,m:ℤ. ∀f:{n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ.
  ((∀i:{n..m + 1-}. f[i;x] continuous for x ∈ I) 
⇒ Σ{f[i;x] | n≤i≤m} continuous for x ∈ I)
Proof
Definitions occuring in Statement : 
continuous: f[x] continuous for x ∈ I
, 
rfun: I ⟶ℝ
, 
interval: Interval
, 
rsum: Σ{x[k] | n≤k≤m}
, 
int_seg: {i..j-}
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
add: n + m
, 
natural_number: $n
, 
int: ℤ
Definitions unfolded in proof : 
all: ∀x:A. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
member: t ∈ T
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
label: ...$L... t
, 
rfun: I ⟶ℝ
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
prop: ℙ
, 
so_apply: x[s]
, 
ge: i ≥ j 
, 
nat: ℕ
, 
false: False
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla)
, 
not: ¬A
, 
uimplies: b supposing a
, 
or: P ∨ Q
, 
decidable: Dec(P)
, 
squash: ↓T
, 
less_than: a < b
, 
and: P ∧ Q
, 
lelt: i ≤ j < k
, 
int_seg: {i..j-}
, 
nequal: a ≠ b ∈ T 
, 
iff: P 
⇐⇒ Q
, 
rev_implies: P 
⇐ Q
, 
assert: ↑b
, 
bnot: ¬bb
, 
guard: {T}
, 
sq_type: SQType(T)
, 
bfalse: ff
, 
ifthenelse: if b then t else f fi 
, 
uiff: uiff(P;Q)
, 
btrue: tt
, 
it: ⋅
, 
unit: Unit
, 
bool: 𝔹
, 
r-ap: f(x)
, 
rfun-eq: rfun-eq(I;f;g)
, 
rev_uimplies: rev_uimplies(P;Q)
, 
true: True
, 
subtract: n - m
, 
stable: Stable{P}
Latex:
\mforall{}I:Interval.  \mforall{}n,m:\mBbbZ{}.  \mforall{}f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    ((\mforall{}i:\{n..m  +  1\msupminus{}\}.  f[i;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}\{f[i;x]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  continuous  for  x  \mmember{}  I)
Date html generated:
2020_05_20-PM-00_14_27
Last ObjectModification:
2020_01_02-PM-01_58_28
Theory : reals
Home
Index