---

Step * 1 2 of Lemma converges-implies-bounded


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℕ
5. [%3] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r1)))
6. bounded-sequence(n.x[n + N])
⊢ bounded-sequence(n.x[n])
BY
{ (((Thin (-2) THEN NatInd (-2)) THEN Auto') THEN Try (BHyp -2 ) THEN ParallelLast) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n + 0]| ≤ b)
⊢ ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ b)

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. [%2] : 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
⊢ ∃b:ℝ. ∀n:ℕ. (|x[n + (N - 1)]| ≤ b)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  [\%3]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r1)))
6.  bounded-sequence(n.x[n  +  N])
\mvdash{}  bounded-sequence(n.x[n])


By

---

Latex:
(((Thin  (-2)  THEN  NatInd  (-2))  THEN  Auto')  THEN  Try  (BHyp  -2  )  THEN  ParallelLast)

---

Home Index