---

Step * 1 1 1 1 2 1 of Lemma countable-Heine-Borel-weak


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. a ≤ b
8. F : f:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
9. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. C[F f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10. n : ℕ
11. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
12. k : ℕ
13. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹. F (λi.if i <z n then f i else tt fi ) < k
14. f : ℕ ⟶ 𝔹
15. F (λi.if i <z n then f i else tt fi ) < k
⊢ F f < k
BY
{ (NthHypEq (-1) THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. a ≤ b
8. F : f:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
9. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. C[F f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10. n : ℕ
11. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
12. k : ℕ
13. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹. F (λi.if i <z n then f i else tt fi ) < k
14. f : ℕ ⟶ 𝔹
15. F (λi.if i <z n then f i else tt fi ) < k
⊢ (F f) = (F (λi.if i <z n then f i else tt fi )) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  C  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  |  x  =  y\}  .    (C[n;x]  {}\mRightarrow{}  C[n;y])
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;x]
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7.  a  \mleq{}  b
8.  F  :  f:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  C[F  f;cantor-to-interval(a;b;f)]
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
12.  k  :  \mBbbN{}
13.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  F  (\mlambda{}i.if  i  <z  n  then  f  i  else  tt  fi  )  <  k
14.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
15.  F  (\mlambda{}i.if  i  <z  n  then  f  i  else  tt  fi  )  <  k
\mvdash{}  F  f  <  k


By

---

Latex:
(NthHypEq  (-1)  THEN  EqCDA)

---

Home Index