---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma countable-Heine-Borel-weak

.....set predicate..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. ¬(a < b)
11. b ≤ a
12. a ≤ b
13. x = a
14. n : ℕk
15. C[n;cantor-to-interval(a;b;λi.ff)]
⊢ cantor-to-interval(a;b;λi.ff) = x
BY
{ (GenConclTerm ⌜cantor-to-interval(a;b;λi.ff)⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. C : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. ¬(a < b)
11. b ≤ a
12. a ≤ b
13. x = a
14. n : ℕk
15. C[n;cantor-to-interval(a;b;λi.ff)]
16. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
17. cantor-to-interval(a;b;λi.ff) = v ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
⊢ v = x

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  C  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  |  x  =  y\}  .    (C[n;x]  {}\mRightarrow{}  C[n;y])
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;x]
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7.  k  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
10.  \mneg{}(a  <  b)
11.  b  \mleq{}  a
12.  a  \mleq{}  b
13.  x  =  a
14.  n  :  \mBbbN{}k
15.  C[n;cantor-to-interval(a;b;\mlambda{}i.ff)]
\mvdash{}  cantor-to-interval(a;b;\mlambda{}i.ff)  =  x


By

---

Latex:
(GenConclTerm  \mkleeneopen{}cantor-to-interval(a;b;\mlambda{}i.ff)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index