---

Step * 1 1 1 of Lemma derivative-add

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f1 : I ⟶ℝ
3. f2 : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. k : ℕ+
7. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
8. del : ℝ
9. r0 < del
10. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|f2[y] - f2[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - x|)))
11. d1 : ℝ
12. r0 < d1
13. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ d1)
      ⇒ (|f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - x|)))
14. r0 < rmin(del;d1)
15. x : ℝ
16. y : ℝ
17. x ∈ i-approx(I;n)
18. y ∈ i-approx(I;n)
19. |y - x| ≤ rmin(del;d1)
20. y ∈ I
21. x ∈ I
22. |f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - x|)
23. |f2[y] - f2[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * k)) * |y - x|)
⊢ ((f1[y] + f2[y]) - f1[x] + f2[x] - (g1[x] + g2[x]) * (y - x))
= ((f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)) + (f2[y] - f2[x] - g2[x] * (y - x)))
BY
{ ((GenConclTerm ⌜f1[y]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜f1[x]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜f2[y]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜f2[x]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜g1[x]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜g2[x]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN nRNorm 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  f1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))\} 
8.  del  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  del
10.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
            {}\mRightarrow{}  (|f2[y]  -  f2[x]  -  g2[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  x|)))
11.  d1  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d1
13.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d1)
            {}\mRightarrow{}  (|f1[y]  -  f1[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  x|)))
14.  r0  <  rmin(del;d1)
15.  x  :  \mBbbR{}
16.  y  :  \mBbbR{}
17.  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
18.  y  \mmember{}  i-approx(I;n)
19.  |y  -  x|  \mleq{}  rmin(del;d1)
20.  y  \mmember{}  I
21.  x  \mmember{}  I
22.  |f1[y]  -  f1[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  x|)
23.  |f2[y]  -  f2[x]  -  g2[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  *  |y  -  x|)
\mvdash{}  ((f1[y]  +  f2[y])  -  f1[x]  +  f2[x]  -  (g1[x]  +  g2[x])  *  (y  -  x))
=  ((f1[y]  -  f1[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x))  +  (f2[y]  -  f2[x]  -  g2[x]  *  (y  -  x)))


By

---

Latex:
((GenConclTerm  \mkleeneopen{}f1[y]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f1[x]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f2[y]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f2[x]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}g1[x]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}g2[x]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  nRNorm  0
  THEN  Auto)

---

Home Index