---

Step * 1 1 of Lemma derivative-implies-decreasing

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
⊢ f[x] continuous for x ∈ [x, y]
BY
{ (FLemma `differentiable-continuous` [5] THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. x1 : {x:ℝ| x ∈ I} 
14. y1 : {x:ℝ| x ∈ I} 
15. x1 = y1
⊢ f'[x1] = f'[y1]

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
⊢ f[x] continuous for x ∈ [x, y]

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  \mleq{}  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
\mvdash{}  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]


By

---

Latex:
(FLemma  `differentiable-continuous`  [5]  THENA  Auto)

---

Home Index