---

Step * 1 2 of Lemma derivative-implies-decreasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. f[x] continuous for x ∈ [x, y]
⊢ f[y] ≤ f[x]
BY
{ ((BLemma `rleq-iff-all-rless` THEN Auto) THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜e⌝]⋅ THENA Auto) THEN D -1) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. f[x] continuous for x ∈ [x, y]
14. e : {e:ℝ| r0 < e} 
15. k : ℕ+
16. (r1/r(k)) < e
⊢ f[y] ≤ (f[x] + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  \mleq{}  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
13.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
\mvdash{}  f[y]  \mleq{}  f[x]


By

---

Latex:
((BLemma  `rleq-iff-all-rless`  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index