---

Step * 1 of Lemma derivative-rinv


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. k : ℕ+
7. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
8. ∀a,b:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} .  ((a = b) ⇒ (f[a] = f[b]))
9. i-approx(I;n) ⊆ I 
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ f[x] ≠ r0)
11. ∃c:ℝ [((r0 < c) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (c ≤ |f[x]|))))]
12. (r1/f[x]) continuous for x ∈ i-approx(I;n)
13. g[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
14. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ f[x] ≠ r0)
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|(r1/f[y]) - (r1/f[x]) - (-(g[x])/f[x] * f[x]) * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]
BY
{ Assert ⌜∃M:ℕ+. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ ((|g[x]| ≤ r(M)) ∧ (|(r1/f[x])| ≤ r(M))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. k : ℕ+
7. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
8. ∀a,b:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} .  ((a = b) ⇒ (f[a] = f[b]))
9. i-approx(I;n) ⊆ I 
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ f[x] ≠ r0)
11. ∃c:ℝ [((r0 < c) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (c ≤ |f[x]|))))]
12. (r1/f[x]) continuous for x ∈ i-approx(I;n)
13. g[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
14. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ f[x] ≠ r0)
⊢ ∃M:ℕ+. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ ((|g[x]| ≤ r(M)) ∧ (|(r1/f[x])| ≤ r(M))))

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. k : ℕ+
7. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
8. ∀a,b:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} .  ((a = b) ⇒ (f[a] = f[b]))
9. i-approx(I;n) ⊆ I 
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ f[x] ≠ r0)
11. ∃c:ℝ [((r0 < c) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (c ≤ |f[x]|))))]
12. (r1/f[x]) continuous for x ∈ i-approx(I;n)
13. g[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
14. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ f[x] ≠ r0)
15. ∃M:ℕ+. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ ((|g[x]| ≤ r(M)) ∧ (|(r1/f[x])| ≤ r(M))))
⊢ ∃del:ℝ [((r0 < del)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
              ⇒ (|y - x| ≤ del)
              ⇒ (|(r1/f[y]) - (r1/f[x]) - (-(g[x])/f[x] * f[x]) * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.g[x]  on  I
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))\} 
8.  \mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  .    ((a  =  b)  {}\mRightarrow{}  (f[a]  =  f[b]))
9.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
10.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  f[x]  \mneq{}  r0)
11.  \mexists{}c:\mBbbR{}  [((r0  <  c)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (c  \mleq{}  |f[x]|))))]
12.  (r1/f[x])  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
13.  g[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
14.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  f[x]  \mneq{}  r0)
\mvdash{}  \mexists{}del:\mBbbR{}  [((r0  <  del)
                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
                            {}\mRightarrow{}  (|(r1/f[y])  -  (r1/f[x])  -  (-(g[x])/f[x]  *  f[x])  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))
                                  *  |y  -  x|)))))]


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  ((|g[x]|  \mleq{}  r(M))  \mwedge{}  (|(r1/f[x])|  \mleq{}  r(M))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index