---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 2 1 of Lemma extensional-discrete-real-fun-is-constant

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℤ
4. x : ℝ
5. a ≤ x
6. x ≤ b
7. y : ℝ
8. a ≤ y
9. y ≤ b
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ ((f x) = (f y) ∈ ℤ))
13. p : partition([a, b])
14. partition-mesh([a, b];p) ≤ d
15. full-partition([a, b];p) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
16. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (∃i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (|x - full-partition([a, b];p)[i]| ≤ d)))
17. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. ((f full-partition([a, b];p)[i]) = (f full-partition([a, b];p)[0]) ∈ ℤ)
⊢ ∀x:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . ((f x) = (f full-partition([a, b];p)[0]) ∈ ℤ)
BY
{ Auto }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℤ
4. x : ℝ
5. a ≤ x
6. x ≤ b
7. y : ℝ
8. a ≤ y
9. y ≤ b
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ ((f x) = (f y) ∈ ℤ))
13. p : partition([a, b])
14. partition-mesh([a, b];p) ≤ d
15. full-partition([a, b];p) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
16. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (∃i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (|x - full-partition([a, b];p)[i]| ≤ d)))
17. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. ((f full-partition([a, b];p)[i]) = (f full-partition([a, b];p)[0]) ∈ ℤ)
18. x1 : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
⊢ (f x1) = (f full-partition([a, b];p)[0]) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  a  \mleq{}  x
6.  x  \mleq{}  b
7.  y  :  \mBbbR{}
8.  a  \mleq{}  y
9.  y  \mleq{}  b
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  r0  <  d
12.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
13.  p  :  partition([a,  b])
14.  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d
15.  full-partition([a,  b];p)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List
16.  \mforall{}x:\mBbbR{}
            ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||full-partition([a,  b];p)||.  (|x  -  full-partition([a,  b];p)[i]|  \mleq{}  d)))
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition([a,  b];p)||
            ((f  full-partition([a,  b];p)[i])  =  (f  full-partition([a,  b];p)[0]))
\mvdash{}  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .  ((f  x)  =  (f  full-partition([a,  b];p)[0]))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index