---

Step * 1 of Lemma finite-subcover-implies-m-TB


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. ∀[I:Type]. ∀[A:I ⟶ X ⟶ ℙ].  (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x]) ⇒ (∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]))
4. k : ℕ
⊢ ∃n:ℕ+. ∃xs:ℕn ⟶ X. ∀x:X. ∃i:ℕn. (mdist(d;x;xs i) ≤ (r1/r(k + 1)))
BY
{ (Enough to prove m-open-cover(X;d;X;x,y.mdist(d;x;y) < (r1/r(k + 1)))
    Because (InstHyp [⌜X⌝;⌜λ2x y.mdist(d;x;y) < (r1/r(k + 1))⌝] (-3)⋅
             THEN Auto
             THEN RWO "mdist-symm" 0
             THEN Auto
             THEN RepeatFor 4 (ParallelLast)
             THEN RWO "-1" 0
             THEN Auto)) }

1
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. ∀[I:Type]. ∀[A:I ⟶ X ⟶ ℙ].  (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x]) ⇒ (∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]))
4. k : ℕ
⊢ m-open-cover(X;d;X;x,y.mdist(d;x;y) < (r1/r(k + 1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  \mforall{}[I:Type].  \mforall{}[A:I  {}\mrightarrow{}  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
          (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x])  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}L:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}x:X.  \mexists{}j:\mBbbN{}n.  A[L  j;x]))
4.  k  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}xs:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X.  \mforall{}x:X.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (mdist(d;x;xs  i)  \mleq{}  (r1/r(k  +  1)))


By

---

Latex:
(Enough  to  prove  m-open-cover(X;d;X;x,y.mdist(d;x;y)  <  (r1/r(k  +  1)))
    Because  (InstHyp  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x  y.mdist(d;x;y)  <  (r1/r(k  +  1))\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}
                      THEN  Auto
                      THEN  RWO  "mdist-symm"  0
                      THEN  Auto
                      THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast)
                      THEN  RWO  "-1"  0
                      THEN  Auto))

---

Home Index