---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma fixedpoint-property-iff


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. c : mcompact(X;d)
4. ∀f:FUN(X ⟶ X). (¬(∀x:X. f x # x))
5. f : FUN(X ⟶ X)
6. λx.mdist(d;f x;x) ∈ FUN(X ⟶ ℝ)
7. ∀x:X. (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) ≤ mdist(d;f x;x))
8. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:X. (mdist(d;f x;x) < (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) + e))))
9. n : ℕ+
10. x : X
11. mdist(d;f x;x) < (compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) + (r1/r(2 * n)))
12. (r1/r(2 * n)) < compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x))
13. x1 : X
⊢ r0 < mdist(d;f x1;x1)
BY
{ ((Assert compact-inf{i:l}(d;c;λx.mdist(d;f x;x)) ≤ mdist(d;f x1;x1)⋅ THEN Auto)
   THEN Assert r0 < (r1/r(2 * n))⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  c  :  mcompact(X;d)
4.  \mforall{}f:FUN(X  {}\mrightarrow{}  X).  (\mneg{}(\mforall{}x:X.  f  x  \#  x))
5.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  X)
6.  \mlambda{}x.mdist(d;f  x;x)  \mmember{}  FUN(X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
7.  \mforall{}x:X.  (compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  \mleq{}  mdist(d;f  x;x))
8.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:X.  (mdist(d;f  x;x)  <  (compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  +  e))))
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  x  :  X
11.  mdist(d;f  x;x)  <  (compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  +  (r1/r(2  *  n)))
12.  (r1/r(2  *  n))  <  compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))
13.  x1  :  X
\mvdash{}  r0  <  mdist(d;f  x1;x1)


By

---

Latex:
((Assert  compact-inf\{i:l\}(d;c;\mlambda{}x.mdist(d;f  x;x))  \mleq{}  mdist(d;f  x1;x1)\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  Assert  r0  <  (r1/r(2  *  n))\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index