---

Step * 1 1 of Lemma fun-converges-to-rsub


1. I : Interval
2. f1 : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. f2 : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. k : ℕ+
8. N1 : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N1...}.  (|f1[n;x] - g1[x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
10. N : ℕ+
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f2[n;x] - g2[x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
12. i-approx(I;m) ⊆ I 
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f1[n;x] - f2[n;x] - g1[x] - g2[x]| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ (D 0 With ⌜imax(N;N1)⌝  THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f1 : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. f2 : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. k : ℕ+
8. N1 : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N1...}.  (|f1[n;x] - g1[x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
10. N : ℕ+
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f2[n;x] - g2[x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
12. i-approx(I;m) ⊆ I 
13. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} 
14. n : {imax(N;N1)...}
⊢ |f1[n;x] - f2[n;x] - g1[x] - g2[x]| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f1  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f2  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  N1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N1...\}.    (|f1[n;x]  -  g1[x]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k)))
10.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f2[n;x]  -  g2[x]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k)))
12.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f1[n;x]  -  f2[n;x]  -  g1[x]  -  g2[x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}imax(N;N1)\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index