---

Step * 1 1 1 of Lemma geometric-series-converges

.....assertion..... 
1. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
2. k : ℕ+
3. r0 < (r1 - c)
4. r0 < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
5. m : ℕ+
6. (r1/r(m)) < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|c^n - r0| ≤ (r1/r(m))))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. |c^n + 1 - r0| ≤ (r1/r(m))
⊢ (|Σ{c^i | 0≤i≤n} - (r1/r1 - c)| * (r1 - c)) = |c^n + 1 - r0|
BY
{ Assert ⌜(r1 - c) = |r1 - c|⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
2. k : ℕ+
3. r0 < (r1 - c)
4. r0 < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
5. m : ℕ+
6. (r1/r(m)) < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|c^n - r0| ≤ (r1/r(m))))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. |c^n + 1 - r0| ≤ (r1/r(m))
⊢ (r1 - c) = |r1 - c|

2
1. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
2. k : ℕ+
3. r0 < (r1 - c)
4. r0 < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
5. m : ℕ+
6. (r1/r(m)) < ((r1 - c) * (r1/r(k)))
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|c^n - r0| ≤ (r1/r(m))))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. |c^n + 1 - r0| ≤ (r1/r(m))
12. (r1 - c) = |r1 - c|
⊢ (|Σ{c^i | 0≤i≤n} - (r1/r1 - c)| * (r1 - c)) = |c^n + 1 - r0|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  <  (r1  -  c)
4.  r0  <  ((r1  -  c)  *  (r1/r(k)))
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  (r1/r(m))  <  ((r1  -  c)  *  (r1/r(k)))
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|c\^{}n  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(m))))
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  N  \mleq{}  n
11.  |c\^{}n  +  1  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(m))
\mvdash{}  (|\mSigma{}\{c\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  (r1/r1  -  c)|  *  (r1  -  c))  =  |c\^{}n  +  1  -  r0|


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(r1  -  c)  =  |r1  -  c|\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index