---

Step * 1 1 of Lemma homeomorphic-retraction


1. X : Type
2. A : Type
3. d : metric(X)
4. A ⊆r X
5. respects-equality(X;A)
6. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
7. r : X ⟶ A
8. r:FUN(X;A)
9. ∀a:A. r a ≡ a
10. Y : Type
11. d' : metric(Y)
12. f : FUN(X ⟶ Y)
13. g : FUN(Y ⟶ X)
14. ∀x:X. g (f x) ≡ x
15. ∀y:Y. f (g y) ≡ y
16. <f, g> ∈ homeomorphic(X;d;Y;d')
17. λy.(f (r (g y))) ∈ Y ⟶ homeo-image(A;Y;d';<f, g>)
18. x1 : Y
19. x2 : Y
20. x1 ≡ x2
⊢ f (r (g x1)) ≡ f (r (g x2))
BY
{ ((DVar `g' THEN DVar `f' THEN (Unhide THENA Auto))
   THEN All (Unfold `is-mfun`)
   THEN All (Unfold `so_apply`)
   THEN RepeatFor 3 (BackThruSomeHyp)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  A  :  Type
3.  d  :  metric(X)
4.  A  \msubseteq{}r  X
5.  respects-equality(X;A)
6.  \mforall{}a:A.  \mforall{}x:X.    (x  \mequiv{}  a  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
7.  r  :  X  {}\mrightarrow{}  A
8.  r:FUN(X;A)
9.  \mforall{}a:A.  r  a  \mequiv{}  a
10.  Y  :  Type
11.  d'  :  metric(Y)
12.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
13.  g  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
14.  \mforall{}x:X.  g  (f  x)  \mequiv{}  x
15.  \mforall{}y:Y.  f  (g  y)  \mequiv{}  y
16.  <f,  g>  \mmember{}  homeomorphic(X;d;Y;d')
17.  \mlambda{}y.(f  (r  (g  y)))  \mmember{}  Y  {}\mrightarrow{}  homeo-image(A;Y;d';<f,  g>)
18.  x1  :  Y
19.  x2  :  Y
20.  x1  \mequiv{}  x2
\mvdash{}  f  (r  (g  x1))  \mequiv{}  f  (r  (g  x2))


By

---

Latex:
((DVar  `g'  THEN  DVar  `f'  THEN  (Unhide  THENA  Auto))
  THEN  All  (Unfold  `is-mfun`)
  THEN  All  (Unfold  `so\_apply`)
  THEN  RepeatFor  3  (BackThruSomeHyp)
  THEN  Auto)

---

Home Index