---

Step * 2 of Lemma int-rdiv_wf


1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
⊢ |(m * ((a n) ÷ k)) - n * ((a m) ÷ k)| ≤ (2 * (n + m))
BY
{ ((Mul ⌜|k|⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "absval_mul<" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "left_mul_subtract_distrib" 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' (k * m * ((a n) ÷ k)) - k * n * ((a m) ÷ k) ~ (m * k * ((a n) ÷ k)) - n * k * ((a m) ÷ k) 0 THENA Auto)
   THEN (RWO  "div_rem_sum2" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
7. r1 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
8. (a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
9. r2 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. (a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
⊢ |(m * ((a n) - r1)) - n * ((a m) - r2)| ≤ (|k| * 2 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (a  n))  -  n  *  (a  m)|  \mleq{}  ((2  *  1)  *  (n  +  m)))
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mneg{}(|k|  \mleq{}  1)
\mvdash{}  |(m  *  ((a  n)  \mdiv{}  k))  -  n  *  ((a  m)  \mdiv{}  k)|  \mleq{}  (2  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Mul  \mkleeneopen{}|k|\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "absval\_mul<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "left\_mul\_subtract\_distrib"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (k  *  m  *  ((a  n)  \mdiv{}  k))  -  k  *  n  *  ((a  m)  \mdiv{}  k)  \msim{}  (m  *  k  *  ((a  n)  \mdiv{}  k))  -  n
              *  k
              *  ((a  m)  \mdiv{}  k)  0
              THENA  Auto
              )
  THEN  (RWO    "div\_rem\_sum2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(a  n  rem  k)  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(a  m  rem  k)  =  r2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index