---

Step * 2 1 of Lemma int-rdiv_wf


1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
7. r1 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
8. (a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
9. r2 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. (a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
⊢ |(m * ((a n) - r1)) - n * ((a m) - r2)| ≤ (|k| * 2 * (n + m))
BY
{ ((Subst' (m * ((a n) - r1)) - n * ((a m) - r2) ~ ((m * (a n)) - n * (a m)) + (n * r2) + (m * (-r1)) 0 THENA Auto)
   THEN InstLemma_o (ioid Obid: int-triangle-inequality) []⋅
   THEN (RWW "-1 3 absval_mul absval-minus" 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
7. r1 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
8. (a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
9. r2 : {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. (a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
11. ∀[a,b:ℤ].  (|a + b| ≤ (|a| + |b|))
⊢ (((2 * 1) * (n + m)) + (|n| * |r2|) + (|m| * |r1|)) ≤ (|k| * 2 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (a  n))  -  n  *  (a  m)|  \mleq{}  ((2  *  1)  *  (n  +  m)))
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mneg{}(|k|  \mleq{}  1)
7.  r1  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |k|\} 
8.  (a  n  rem  k)  =  r1
9.  r2  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |k|\} 
10.  (a  m  rem  k)  =  r2
\mvdash{}  |(m  *  ((a  n)  -  r1))  -  n  *  ((a  m)  -  r2)|  \mleq{}  (|k|  *  2  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Subst'  (m  *  ((a  n)  -  r1))  -  n  *  ((a  m)  -  r2)  \msim{}  ((m  *  (a  n))  -  n  *  (a  m))
    +  (n  *  r2)
    +  (m  *  (-r1))  0
    THENA  Auto
    )
  THEN  InstLemma\_o  (ioid  Obid:  int-triangle-inequality)  []\mcdot{}
  THEN  (RWW  "-1  3  absval\_mul  absval-minus"  0  THENA  Auto))

---

Home Index