---

Step * 1 1 1 of Lemma intermediate-value-theorem


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
⊢ ∃x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|f(x) - y| < e)
BY
{ ((Assert [a, b] ⊆ I  BY
          EAuto 1)
   THEN (Assert |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b] BY
               (ProveRealContinuous THEN Auto))
   THEN RenameVar `mc' (-1)
   THEN Assert ⌜inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} ≤ r0⌝⋅)⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
⊢ inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} ≤ r0

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
13. inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} ≤ r0
⊢ ∃x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|f(x) - y| < e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  f(a)  <  f(b)
7.  y  :  \{y:\mBbbR{}|  y  \mmember{}  [f(a),  f(b)]\} 
8.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
9.  a  <  b
10.  icompact([a,  b])
\mvdash{}  \mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|f(x)  -  y|  <  e)


By

---

Latex:
((Assert  [a,  b]  \msubseteq{}  I    BY
                EAuto  1)
  THEN  (Assert  |f[x]  -  y|  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]  BY
                          (ProveRealContinuous  THEN  Auto))
  THEN  RenameVar  `mc'  (-1)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}inf\{|f[x]  -  y||x  \mmember{}  [a,  b]\}  \mleq{}  r0\mkleeneclose{}\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index