---

Step * 1 1 1 2 of Lemma intermediate-value-theorem


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
13. inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} ≤ r0
⊢ ∃x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|f(x) - y| < e)
BY
{ ((InstLemma `range-inf-property` [⌜[a, b]⌝;⌜λ2x.|f[x] - y|⌝;⌜mc⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (InstHyp [⌜e⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -1)
   THEN RepUR ``rset-member rrange`` -2
   THEN D -2
   THEN RenameVar `z' (-3)
   THEN With ⌜z⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
13. inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} ≤ r0
14. lower-bound(|f[x] - y|(x∈[a, b]);inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]})
15. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ |f[x] - y|(x∈[a, b])) ∧ (x < (inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} + e)))))
16. x : ℝ
17. z : ℝ
18. a ≤ z
19. z ≤ b
20. |f[z] - y| = x
21. x < (inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]} + e)
⊢ |f(z) - y| < e

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  f(a)  <  f(b)
7.  y  :  \{y:\mBbbR{}|  y  \mmember{}  [f(a),  f(b)]\} 
8.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
9.  a  <  b
10.  icompact([a,  b])
11.  [a,  b]  \msubseteq{}  I 
12.  mc  :  |f[x]  -  y|  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
13.  inf\{|f[x]  -  y||x  \mmember{}  [a,  b]\}  \mleq{}  r0
\mvdash{}  \mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|f(x)  -  y|  <  e)


By

---

Latex:
((InstLemma  `range-inf-property`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.|f[x]  -  y|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}mc\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -1)
  THEN  RepUR  ``rset-member  rrange``  -2
  THEN  D  -2
  THEN  RenameVar  `z'  (-3)
  THEN  With  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index