---

Step * 3 of Lemma inverse-of-strict-increasing-function


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x < y) ⇒ ((g x) < (g y)))
11. x : {t:ℝ| t ∈ J} 
12. y : {t:ℝ| t ∈ J} 
13. x = y
⊢ (g x) = (g y)
BY
{ (Assert (f (g x)) = (f (g y)) BY
         (RWO "8" 0 THEN Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x < y) ⇒ ((g x) < (g y)))
11. x : {t:ℝ| t ∈ J} 
12. y : {t:ℝ| t ∈ J} 
13. x = y
14. (f (g x)) = (f (g y))
⊢ (g x) = (g y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  J  :  Interval
4.  g  :  x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .  (f  t  \mmember{}  J)
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  <  (f  y)))
7.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((g  (f  x))  =  x)
10.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  <  (g  y)))
11.  x  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  J\} 
12.  y  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  J\} 
13.  x  =  y
\mvdash{}  (g  x)  =  (g  y)


By

---

Latex:
(Assert  (f  (g  x))  =  (f  (g  y))  BY
              (RWO  "8"  0  THEN  Auto))

---

Home Index