---

Step * 1 1 of Lemma limit-shift-iff


1. m : ℕ
2. X : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. lim n→∞.X[n] = a ⇒ lim n→∞.X[n + m] = a
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|X[n + m] - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|X[n + m] - a| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|X[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))}
BY
{ (D 0 With ⌜N + m⌝  THEN Auto) }

1
1. m : ℕ
2. X : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. lim n→∞.X[n] = a ⇒ lim n→∞.X[n + m] = a
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|X[n + m] - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|X[n + m] - a| ≤ (r1/r(k))))
9. n : ℕ
10. (N + m) ≤ n
⊢ |X[n] - a| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  m  :  \mBbbN{}
2.  X  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.X[n]  =  a  {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.X[n  +  m]  =  a
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|X[n  +  m]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|X[n  +  m]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|X[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\}


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}N  +  m\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index