---

Step * 2 2 2 1 of Lemma locally-non-zero-finite-deriv-seq


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. u : ℝ
4. v : ℝ
5. a ≤ u
6. u < v
7. v ≤ b
8. k : ℤ
9. [%4] : 0 < k
10. ∀f:[a, b] ⟶ℝ
      ((∃F:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ [a, b] ⟶ℝ
         (finite-deriv-seq([a, b];k - 1;i,x.F[i;x])
         ∧ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (F[0;x] = f(x)))
         ∧ (∃z:{z:ℝ| z ∈ [u, v]} . (r0 < Σ{|F[i;z]| | 0≤i≤k - 1}))))
      ⇒ (∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ r0)))
11. f : [a, b] ⟶ℝ
12. F : ℕk + 1 ⟶ [a, b] ⟶ℝ
13. finite-deriv-seq([a, b];k;i,x.F[i;x])
14. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (F[0;x] = f(x))
15. z : {z:ℝ| z ∈ [u, v]} 
16. r0 < (|F[0;z]| + Σ{|F[i;z]| | 0 + 1≤i≤k})
17. u ≤ z
18. z ≤ v
19. r0 < Σ{|F[i;z]| | 0 + 1≤i≤k}
20. z1 : ℝ
21. u ≤ z1
22. z1 ≤ v
23. F[1;z1] ≠ r0
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ r0)
BY
{ TACTIC:(Assert d(f[x])/dx = λx.F[1;x] on [a, b] BY
                ((Assert d(F[0;x])/dx = λx.F[1;x] on [a, b] BY
                        ((Subst' 1 ~ 0 + 1 0 THENA Auto) THEN BackThruSomeHyp'))
                 THEN InstLemma `derivative_functionality` [⌜[a, b]⌝;⌜λx.F[0;x]⌝;⌜f⌝;⌜λx.F[1;x]⌝;⌜λx.F[1;x]⌝]⋅
                 THEN Auto
                 THEN Try ((All (RepUR ``so_apply``) THEN Trivial))
                 THEN D 0
                 THEN RepUR ``r-ap`` 0
                 THEN Auto
                 THEN InstHyp [⌜x⌝] (-12)⋅
                 THEN Auto
                 THEN RepUR ``r-ap`` -1
                 THEN Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. u : ℝ
4. v : ℝ
5. a ≤ u
6. u < v
7. v ≤ b
8. k : ℤ
9. [%4] : 0 < k
10. ∀f:[a, b] ⟶ℝ
      ((∃F:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ [a, b] ⟶ℝ
         (finite-deriv-seq([a, b];k - 1;i,x.F[i;x])
         ∧ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (F[0;x] = f(x)))
         ∧ (∃z:{z:ℝ| z ∈ [u, v]} . (r0 < Σ{|F[i;z]| | 0≤i≤k - 1}))))
      ⇒ (∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ r0)))
11. f : [a, b] ⟶ℝ
12. F : ℕk + 1 ⟶ [a, b] ⟶ℝ
13. finite-deriv-seq([a, b];k;i,x.F[i;x])
14. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (F[0;x] = f(x))
15. z : {z:ℝ| z ∈ [u, v]} 
16. r0 < (|F[0;z]| + Σ{|F[i;z]| | 0 + 1≤i≤k})
17. u ≤ z
18. z ≤ v
19. r0 < Σ{|F[i;z]| | 0 + 1≤i≤k}
20. z1 : ℝ
21. u ≤ z1
22. z1 ≤ v
23. F[1;z1] ≠ r0
24. d(f[x])/dx = λx.F[1;x] on [a, b]
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ r0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  u  :  \mBbbR{}
4.  v  :  \mBbbR{}
5.  a  \mleq{}  u
6.  u  <  v
7.  v  \mleq{}  b
8.  k  :  \mBbbZ{}
9.  [\%4]  :  0  <  k
10.  \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
            ((\mexists{}F:\mBbbN{}(k  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
                  (finite-deriv-seq([a,  b];k  -  1;i,x.F[i;x])
                  \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (F[0;x]  =  f(x)))
                  \mwedge{}  (\mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [u,  v]\}  .  (r0  <  \mSigma{}\{|F[i;z]|  |  0\mleq{}i\mleq{}k  -  1\}))))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}z:\mBbbR{}.  ((u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)  \mwedge{}  f(z)  \mneq{}  r0)))
11.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
12.  F  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
13.  finite-deriv-seq([a,  b];k;i,x.F[i;x])
14.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (F[0;x]  =  f(x))
15.  z  :  \{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [u,  v]\} 
16.  r0  <  (|F[0;z]|  +  \mSigma{}\{|F[i;z]|  |  0  +  1\mleq{}i\mleq{}k\})
17.  u  \mleq{}  z
18.  z  \mleq{}  v
19.  r0  <  \mSigma{}\{|F[i;z]|  |  0  +  1\mleq{}i\mleq{}k\}
20.  z1  :  \mBbbR{}
21.  u  \mleq{}  z1
22.  z1  \mleq{}  v
23.  F[1;z1]  \mneq{}  r0
\mvdash{}  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)  \mwedge{}  f(z)  \mneq{}  r0)


By

---

Latex:
TACTIC:(Assert  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.F[1;x]  on  [a,  b]  BY
                            ((Assert  d(F[0;x])/dx  =  \mlambda{}x.F[1;x]  on  [a,  b]  BY
                                            ((Subst'  1  \msim{}  0  +  1  0  THENA  Auto)  THEN  BackThruSomeHyp'))
                              THEN  InstLemma  `derivative\_functionality`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.F[0;x]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.F[1;x]\mkleeneclose{};
                              \mkleeneopen{}\mlambda{}x.F[1;x]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                              THEN  Auto
                              THEN  Try  ((All  (RepUR  ``so\_apply``)  THEN  Trivial))
                              THEN  D  0
                              THEN  RepUR  ``r-ap``  0
                              THEN  Auto
                              THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-12)\mcdot{}
                              THEN  Auto
                              THEN  RepUR  ``r-ap``  -1
                              THEN  Auto))

---

Home Index