---

Step * 1 1 of Lemma m-unique-limit


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. x : ℕ ⟶ X
4. y1 : X
5. y2 : X
6. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(k)))))])
7. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(k)))))])
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. [%7] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(2 * k))))
11. N1 : ℕ
12. [%9] : ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(2 * k))))
13. mdist(d;x[imax(N;N1)];y2) ≤ (r1/r(2 * k))
14. mdist(d;x[imax(N;N1)];y1) ≤ (r1/r(2 * k))
⊢ |(d y1 y2) - r0| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((Assert mdist(d;y1;y2) ≤ (mdist(d;y1;x[imax(N;N1)]) + mdist(d;x[imax(N;N1)];y2)) BY
          ((RWO "mdist-triangle-inequality<" 0 THENA Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto))
   THEN Fold `mdist` 0
   THEN nRNorm 0
   THEN Auto
   THEN (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-3" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "mdist-symm" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-2" 0 THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. x : ℕ ⟶ X
4. y1 : X
5. y2 : X
6. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(k)))))])
7. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(k)))))])
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(2 * k))))
11. N1 : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(2 * k))))
13. mdist(d;x[imax(N;N1)];y2) ≤ (r1/r(2 * k))
14. mdist(d;x[imax(N;N1)];y1) ≤ (r1/r(2 * k))
15. mdist(d;y1;y2) ≤ (mdist(d;y1;x[imax(N;N1)]) + mdist(d;x[imax(N;N1)];y2))
⊢ ((r1/r(2 * k)) + (r1/r(2 * k))) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X
4.  y1  :  X
5.  y2  :  X
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y2)  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y1)  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  N  :  \mBbbN{}
10.  [\%7]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y2)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
11.  N1  :  \mBbbN{}
12.  [\%9]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N1  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y1)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
13.  mdist(d;x[imax(N;N1)];y2)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
14.  mdist(d;x[imax(N;N1)];y1)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
\mvdash{}  |(d  y1  y2)  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((Assert  mdist(d;y1;y2)  \mleq{}  (mdist(d;y1;x[imax(N;N1)])  +  mdist(d;x[imax(N;N1)];y2))  BY
                ((RWO  "mdist-triangle-inequality<"  0  THENA  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  Fold  `mdist`  0
  THEN  nRNorm  0
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-3"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "mdist-symm"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-2"  0  THENA  Auto))

---

Home Index