---

Step * 1 of Lemma mean-value-theorem


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. ∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
     (f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
     ⇒ (f[a] = f[b])
     ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))))))
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. f' : [a, b] ⟶ℝ
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f[b] - f[a] - f'[x] * (b - a)| ≤ e))
BY
{ (InstHyp [⌜λ2x.((f[b] - f[a]) * (x - a)) - (b - a) * f[x]⌝
                ;⌜λ2x.f[b] - f[a] - (b - a) * f'[x]⌝] 4⋅
   THEN Auto
   ) }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. ∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
     (f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
     ⇒ (f[a] = f[b])
     ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))))))
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. f' : [a, b] ⟶ℝ
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
⊢ f[b] - f[a] - (b - a) * f'[x] continuous for x ∈ [a, b]

2
.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. ∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
     (f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
     ⇒ (f[a] = f[b])
     ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))))))
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. f' : [a, b] ⟶ℝ
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
⊢ d(((f[b] - f[a]) * (x - a)) - (b - a) * f[x])/dx = λx.f[b] - f[a] - (b - a) * f'[x] on [a, b]

3
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. ∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
     (f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
     ⇒ (f[a] = f[b])
     ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))))))
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. f' : [a, b] ⟶ℝ
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f[b] - f[a] - (b - a) * f'[x]| ≤ e))))
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f[b] - f[a] - f'[x] * (b - a)| ≤ e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  \mforall{}f,f':[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          (f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
          {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
          {}\mRightarrow{}  (f[a]  =  f[b])
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (|f'[x]|  \mleq{}  e))))))
5.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (|f[b]  -  f[a]  -  f'[x]  *  (b  -  a)|  \mleq{}  e))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.((f[b]  -  f[a])  *  (x  -  a))  -  (b  -  a)  *  f[x]\mkleeneclose{}
                            ;\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.f[b]  -  f[a]  -  (b  -  a)  *  f'[x]\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}
  THEN  Auto
  )

---

Home Index