---

Step * 1 2 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma metric-weak-Markov


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. x : X
4. y : X
5. ∀z:X. ((¬z ≡ x) ∨ (¬z ≡ y))
6. r : ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((mdist(d;x;y) < (r1/r(n))) ∨ (r < mdist(d;x;y)) ∨ (r0 < r))
8. a : ℕ+ ⟶ ℕ3
9. ∀n:ℕ+
     (((((a n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (mdist(d;x;y) < (r1/r(n))))
      ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ (r < mdist(d;x;y)))
      ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ (r0 < r)))
     ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 1 ∈ ℤ))
     ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 2 ∈ ℤ)))
10. k : ℕ+
⊢ ∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.
           ((N ≤ n)
           ⇒ (N ≤ m)
           ⇒ (mdist(d;(λn.if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ) n;(λn.if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ) 
                                                                    m) ≤ (r1/r(k)))))]
BY
{ (D 0 With ⌜k⌝  THEN Auto THEN Reduce 0) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. x : X
4. y : X
5. ∀z:X. ((¬z ≡ x) ∨ (¬z ≡ y))
6. r : ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((mdist(d;x;y) < (r1/r(n))) ∨ (r < mdist(d;x;y)) ∨ (r0 < r))
8. a : ℕ+ ⟶ ℕ3
9. ∀n:ℕ+
     (((((a n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (mdist(d;x;y) < (r1/r(n))))
      ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ (r < mdist(d;x;y)))
      ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ (r0 < r)))
     ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 1 ∈ ℤ))
     ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 2 ∈ ℤ)))
10. k : ℕ+
11. n : ℕ
12. m : ℕ
13. k ≤ n
14. k ≤ m
⊢ mdist(d;if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ;if (a (m + 1) =z 1) then y else x fi ) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  x  :  X
4.  y  :  X
5.  \mforall{}z:X.  ((\mneg{}z  \mequiv{}  x)  \mvee{}  (\mneg{}z  \mequiv{}  y))
6.  r  :  \mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((mdist(d;x;y)  <  (r1/r(n)))  \mvee{}  (r  <  mdist(d;x;y))  \mvee{}  (r0  <  r))
8.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}3
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
          (((((a  n)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x;y)  <  (r1/r(n))))
            \mwedge{}  (((a  n)  =  1)  {}\mRightarrow{}  (r  <  mdist(d;x;y)))
            \mwedge{}  (((a  n)  =  2)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  r)))
          \mwedge{}  (((a  n)  =  1)  {}\mRightarrow{}  ((a  (n  +  1))  =  1))
          \mwedge{}  (((a  n)  =  2)  {}\mRightarrow{}  ((a  (n  +  1))  =  2)))
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n,m:\mBbbN{}.
                      ((N  \mleq{}  n)
                      {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)
                      {}\mRightarrow{}  (mdist(d;(\mlambda{}n.if  (a  (n  +  1)  =\msubz{}  1)  then  y  else  x  fi  )  n;(\mlambda{}n.if  (a  (n  +  1)  =\msubz{}  1)
                                                                                                                                                then  y
                                                                                                                                                else  x
                                                                                                                                                fi  ) 
                                                                                                                                        m)  \mleq{}  (r1/r(k)))))]


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}    THEN  Auto  THEN  Reduce  0)

---

Home Index