---

Step * 1 2 2 2 2 of Lemma near-root-rational


1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
23. (r(p)/r(q)) = (r(a)/r(b^k))
⊢ |(r(if p <z 0 then -x else x fi )/r(y))^k - (r(p)/r(q))| < (r1/r(n))
BY
{ ((RWO "-1" 0 THENA Auto) THEN Thin (-1) THEN Assert ⌜(r(d)/r(b^k)) < (r1/r(n))⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ (r(d)/r(b^k)) < (r1/r(n))

2
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
23. (r(d)/r(b^k)) < (r1/r(n))
⊢ |(r(if p <z 0 then -x else x fi )/r(y))^k - (r(a)/r(b^k))| < (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
6.  s  :  \mBbbB{}
7.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
8.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
10.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
16.  x  :  \mBbbN{}
17.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
19.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
20.  (0  \mleq{}  p)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )
21.  (0  \mleq{}  p)  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi 
22.  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 
23.  (r(p)/r(q))  =  (r(a)/r(b\^{}k))
\mvdash{}  |(r(if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )/r(y))\^{}k  -  (r(p)/r(q))|  <  (r1/r(n))


By

---

Latex:
((RWO  "-1"  0  THENA  Auto)  THEN  Thin  (-1)  THEN  Assert  \mkleeneopen{}(r(d)/r(b\^{}k))  <  (r1/r(n))\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index