---

Step * 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 of Lemma nearby-increasing-partition


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : ℝ List
4. ¬(p = [] ∈ (ℝ List))
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. k : ℕ+
7. (r1/r(k)) < e
8. left-endpoint(I) < right-endpoint(I)
9. partitions(I;p)
10. x : ℕ||p|| - 1
11. p[x] < p[x + 1]
12. k1 : ℕ+
13. (r1/r(k1)) < (p[x + 1] - p[x])
14. N : ℕ+
15. ∀j:ℕ||p||. (((r(j)/r(N)) < e) ∧ ((r(j)/r(N)) < (p[x + 1] - p[x])))
16. frs-increasing(mklist(||p||;λj.if x <z j then p[j] - (r(||p|| - 1 - j)/r(N)) else p[j] + (r(j)/r(N)) fi ))
17. frs-increasing(mklist(||p||;λj.if x <z j then p[j] - (r(||p|| - 1 - j)/r(N)) else p[j] + (r(j)/r(N)) fi ))
18. i : ℕ||p||
19. ((r(||p|| - 1 - i)/r(N)) < e) ∧ ((r(||p|| - 1 - i)/r(N)) < (p[x + 1] - p[x]))
⊢ |p[i] - p[i] - (r(||p|| - 1 - i)/r(N))| ≤ e
BY
{ (Assert r0 ≤ (r(||p|| - 1 - i)/r(N)) BY
         Auto) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : ℝ List
4. ¬(p = [] ∈ (ℝ List))
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. k : ℕ+
7. (r1/r(k)) < e
8. left-endpoint(I) < right-endpoint(I)
9. partitions(I;p)
10. x : ℕ||p|| - 1
11. p[x] < p[x + 1]
12. k1 : ℕ+
13. (r1/r(k1)) < (p[x + 1] - p[x])
14. N : ℕ+
15. ∀j:ℕ||p||. (((r(j)/r(N)) < e) ∧ ((r(j)/r(N)) < (p[x + 1] - p[x])))
16. frs-increasing(mklist(||p||;λj.if x <z j then p[j] - (r(||p|| - 1 - j)/r(N)) else p[j] + (r(j)/r(N)) fi ))
17. frs-increasing(mklist(||p||;λj.if x <z j then p[j] - (r(||p|| - 1 - j)/r(N)) else p[j] + (r(j)/r(N)) fi ))
18. i : ℕ||p||
19. ((r(||p|| - 1 - i)/r(N)) < e) ∧ ((r(||p|| - 1 - i)/r(N)) < (p[x + 1] - p[x]))
20. r0 ≤ (r(||p|| - 1 - i)/r(N))
⊢ |p[i] - p[i] - (r(||p|| - 1 - i)/r(N))| ≤ e

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  p  :  \mBbbR{}  List
4.  \mneg{}(p  =  [])
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  (r1/r(k))  <  e
8.  left-endpoint(I)  <  right-endpoint(I)
9.  partitions(I;p)
10.  x  :  \mBbbN{}||p||  -  1
11.  p[x]  <  p[x  +  1]
12.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  (r1/r(k1))  <  (p[x  +  1]  -  p[x])
14.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  \mforall{}j:\mBbbN{}||p||.  (((r(j)/r(N))  <  e)  \mwedge{}  ((r(j)/r(N))  <  (p[x  +  1]  -  p[x])))
16.  frs-increasing(mklist(||p||;\mlambda{}j.if  x  <z  j
                                                                      then  p[j]  -  (r(||p||  -  1  -  j)/r(N))
                                                                      else  p[j]  +  (r(j)/r(N))
                                                                      fi  ))
17.  frs-increasing(mklist(||p||;\mlambda{}j.if  x  <z  j
                                                                      then  p[j]  -  (r(||p||  -  1  -  j)/r(N))
                                                                      else  p[j]  +  (r(j)/r(N))
                                                                      fi  ))
18.  i  :  \mBbbN{}||p||
19.  ((r(||p||  -  1  -  i)/r(N))  <  e)  \mwedge{}  ((r(||p||  -  1  -  i)/r(N))  <  (p[x  +  1]  -  p[x]))
\mvdash{}  |p[i]  -  p[i]  -  (r(||p||  -  1  -  i)/r(N))|  \mleq{}  e


By

---

Latex:
(Assert  r0  \mleq{}  (r(||p||  -  1  -  i)/r(N))  BY
              Auto)

---

Home Index