---

Step * 1 1 2 2 1 2 2 of Lemma not-discontinuous

.....wf..... 
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. x : ℝ
4. epsilon : {e:ℝ| r0 < e} 
5. ∀delta:{e:ℝ| r0 < e} . ∃y:ℝ. ((|x - y| < delta) ∧ (epsilon < |(f x) - f y|))
6. k : ℕ+
7. (r1/r(k)) < epsilon
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀x@0,y:{x@0:ℝ| x@0 ∈ [x - r1, x + r1]} .  ((|x@0 - y| ≤ d) ⇒ (|(f x@0) - f y| ≤ (r1/r(k))))
10. y : ℝ
11. |x - y| < rmin(r1;d)
12. epsilon < |(f x) - f y|
⊢ y ∈ {x@0:ℝ| x@0 ∈ [x - r1, x + r1]} 
BY
{ (RWO  "rabs-difference-bound-iff" (-2) THEN Auto THEN MemTypeCD THEN Auto) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. x : ℝ
4. epsilon : {e:ℝ| r0 < e} 
5. ∀delta:{e:ℝ| r0 < e} . ∃y:ℝ. ((|x - y| < delta) ∧ (epsilon < |(f x) - f y|))
6. k : ℕ+
7. (r1/r(k)) < epsilon
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀x@0,y:{x@0:ℝ| x@0 ∈ [x - r1, x + r1]} .  ((|x@0 - y| ≤ d) ⇒ (|(f x@0) - f y| ≤ (r1/r(k))))
10. y : ℝ
11. (y - rmin(r1;d)) < x
12. x < (y + rmin(r1;d))
13. epsilon < |(f x) - f y|
⊢ (x - r1) ≤ y

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. x : ℝ
4. epsilon : {e:ℝ| r0 < e} 
5. ∀delta:{e:ℝ| r0 < e} . ∃y:ℝ. ((|x - y| < delta) ∧ (epsilon < |(f x) - f y|))
6. k : ℕ+
7. (r1/r(k)) < epsilon
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀x@0,y:{x@0:ℝ| x@0 ∈ [x - r1, x + r1]} .  ((|x@0 - y| ≤ d) ⇒ (|(f x@0) - f y| ≤ (r1/r(k))))
10. y : ℝ
11. (y - rmin(r1;d)) < x
12. x < (y + rmin(r1;d))
13. epsilon < |(f x) - f y|
14. (x - r1) ≤ y
⊢ y ≤ (x + r1)

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  x  :  \mBbbR{}
4.  epsilon  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
5.  \mforall{}delta:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((|x  -  y|  <  delta)  \mwedge{}  (epsilon  <  |(f  x)  -  f  y|))
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  (r1/r(k))  <  epsilon
8.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
9.  \mforall{}x@0,y:\{x@0:\mBbbR{}|  x@0  \mmember{}  [x  -  r1,  x  +  r1]\}  .    ((|x@0  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x@0)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))
10.  y  :  \mBbbR{}
11.  |x  -  y|  <  rmin(r1;d)
12.  epsilon  <  |(f  x)  -  f  y|
\mvdash{}  y  \mmember{}  \{x@0:\mBbbR{}|  x@0  \mmember{}  [x  -  r1,  x  +  r1]\} 


By

---

Latex:
(RWO    "rabs-difference-bound-iff"  (-2)  THEN  Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto)

---

Home Index