---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 2 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. a < b
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
7. k : ℕ+
8. ∀F:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ. ∃n:ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
9. ∀f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹.
     ((f@0 = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((f cantor-to-interval(a;b;f@0) (2 * k)) = (f cantor-to-interval(a;b;g) (2 * k)) ∈ ℤ))
⊢ ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
BY
{ (Auto THEN (InstLemma `cantor-to-interval-onto-common` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto) THEN ExRepD) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. a < b
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
7. k : ℕ+
8. ∀F:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ. ∃n:ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
9. ∀f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹.
     ((f@0 = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((f cantor-to-interval(a;b;f@0) (2 * k)) = (f cantor-to-interval(a;b;g) (2 * k)) ∈ ℤ))
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
12. |x - y| ≤ (2^n * b - a)/6 * 3^n
13. f1 : ℕ ⟶ 𝔹
14. g : ℕ ⟶ 𝔹
15. cantor-to-interval(a;b;f1) = x
16. cantor-to-interval(a;b;g) = y
17. f1 = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)
⊢ |(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  b  :  \mBbbR{}
4.  a  <  b
5.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
9.  \mforall{}f@0,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((f@0  =  g)
          {}\mRightarrow{}  ((f  cantor-to-interval(a;b;f@0)  (2  *  k))  =  (f  cantor-to-interval(a;b;g)  (2  *  k))))
\mvdash{}  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  (2\^{}n  *  b  -  a)/6  *  3\^{}n)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `cantor-to-interval-onto-common`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index