---

Step * 1 2 2 1 1 1 1 2 1 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
7. k : ℕ+
8. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
9. ∀h,g:ℕ ⟶ 𝔹.  (|(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)| ≤ 4)
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
12. |x - y| ≤ r1
13. ((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ∧ (a ≤ y) ∧ (y ≤ b)
14. x ≠ y
15. a < b
16. ∃f:ℕ ⟶ 𝔹. (cantor-to-interval(a;b;f) = x)
17. ∃f:ℕ ⟶ 𝔹. (cantor-to-interval(a;b;f) = y)
⊢ |(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (Thin 5
   THEN ExRepD
   THEN (Assert (f cantor-to-interval(a;b;f2)) = (f x) BY
               ((BLemma `req-iff-not-rneq` THENA Auto)
                THEN (D 0 THENA Auto)
                THEN FHyp 5 [-1]
                THEN Auto
                THEN RWO  "req-iff-not-rneq" (-5)
                THEN Auto))
   THEN (Assert (f cantor-to-interval(a;b;f1)) = (f y) BY
               ((BLemma `req-iff-not-rneq` THENA Auto)
                THEN (D 0 THENA Auto)
                THEN FHyp 5 [-1]
                THEN Auto
                THEN RWO  "req-iff-not-rneq" (-4)
                THEN Auto))
   THEN (RWO "-1< -2<" 0 THENA Auto)
   THEN ThinVar `x'
   THEN ThinVar `y') }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
6. k : ℕ+
7. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
8. ∀h,g:ℕ ⟶ 𝔹.  (|(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)| ≤ 4)
9. a < b
10. f2 : ℕ ⟶ 𝔹
11. f1 : ℕ ⟶ 𝔹
⊢ |(f cantor-to-interval(a;b;f2)) - f cantor-to-interval(a;b;f1)| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    (f  x  \mneq{}  f  y  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  y)
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mneg{}(\mexists{}f@0,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
            4  <  |(f  cantor-to-interval(a;b;f@0)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|)
9.  \mforall{}h,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    (|(f  cantor-to-interval(a;b;h)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|  \mleq{}  4)
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
11.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
12.  |x  -  y|  \mleq{}  r1
13.  ((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))  \mwedge{}  (a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b)
14.  x  \mneq{}  y
15.  a  <  b
16.  \mexists{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (cantor-to-interval(a;b;f)  =  x)
17.  \mexists{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (cantor-to-interval(a;b;f)  =  y)
\mvdash{}  |(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(Thin  5
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  (f  cantor-to-interval(a;b;f2))  =  (f  x)  BY
                          ((BLemma  `req-iff-not-rneq`  THENA  Auto)
                            THEN  (D  0  THENA  Auto)
                            THEN  FHyp  5  [-1]
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO    "req-iff-not-rneq"  (-5)
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (f  cantor-to-interval(a;b;f1))  =  (f  y)  BY
                          ((BLemma  `req-iff-not-rneq`  THENA  Auto)
                            THEN  (D  0  THENA  Auto)
                            THEN  FHyp  5  [-1]
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO    "req-iff-not-rneq"  (-4)
                            THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1<  -2<"  0  THENA  Auto)
  THEN  ThinVar  `x'
  THEN  ThinVar  `y')

---

Home Index