---

Step * 1 2 1 1 1 1 2 of Lemma power-series-converges


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. r' : ℝ
8. r0 ≤ r'
9. r' < r
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')
11. r0 ≤ (r'/r)
12. (r'/r) < r1
13. n : {N...}
14. x : {x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} 
15. |a[n + 1] * (x - b)| ≤ ((|a[n]|/r) * r')
16. |x - b^n + 1| = (|x - b^n| * |x - b|)
⊢ (|a[n + 1]| * |x - b^n + 1|) ≤ ((r'/r) * |a[n]| * |x - b^n|)
BY
{ ((RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN (RWO "rabs-rmul" (-1) THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜|a[n + 1]|⌝;⌜|a[n]|⌝;⌜|x - b^n|⌝;⌜|x - b|⌝]⋅) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. r' : ℝ
8. r0 ≤ r'
9. r' < r
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')
11. r0 ≤ (r'/r)
12. (r'/r) < r1
13. n : {N...}
14. x : {x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} 
15. v : ℝ
16. |a[n + 1]| = v ∈ ℝ
17. v1 : ℝ
18. |a[n]| = v1 ∈ ℝ
19. v2 : ℝ
20. |x - b^n| = v2 ∈ ℝ
21. v3 : ℝ
22. |x - b| = v3 ∈ ℝ
⊢ ((v * v3) ≤ ((v1/r) * r')) ⇒ ((v * v2 * v3) ≤ ((r'/r) * v1 * v2))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|a[n  +  1]|  \mleq{}  (|a[n]|/r))
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((b  -  r,  b  +  r);m))\} 
7.  r'  :  \mBbbR{}
8.  r0  \mleq{}  r'
9.  r'  <  r
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(b  -  r)  +  (r1/r(m)),  (b  +  r)  -  (r1/r(m))]\}  .  (|x  -  b|  \mleq{}  r')
11.  r0  \mleq{}  (r'/r)
12.  (r'/r)  <  r1
13.  n  :  \{N...\}
14.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (((b  -  r)  +  (r1/r(m)))  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  ((b  +  r)  -  (r1/r(m))))\} 
15.  |a[n  +  1]  *  (x  -  b)|  \mleq{}  ((|a[n]|/r)  *  r')
16.  |x  -  b\^{}n  +  1|  =  (|x  -  b\^{}n|  *  |x  -  b|)
\mvdash{}  (|a[n  +  1]|  *  |x  -  b\^{}n  +  1|)  \mleq{}  ((r'/r)  *  |a[n]|  *  |x  -  b\^{}n|)


By

---

Latex:
((RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (RWO  "rabs-rmul"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}|a[n  +  1]|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|a[n]|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|x  -  b\^{}n|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|x  -  b|\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index