---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma prod-metric-space-complete


1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. prod-metric(k;λi.(snd((X i)))) ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(prod-metric(k;λi.(snd((X i))));n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
8. ∀i:ℕk. ∃y:fst((X i)). lim n→∞.x n i = y
9. f : i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
10. ∀i:ℕk. lim n→∞.x n i = f i
11. m : ℕ+
12. k = 0 ∈ ℤ
13. n : ℕ
14. 0 ≤ n
⊢ Σ{(snd((X i))) (x n i) (f i) | 0≤i≤-1} ≤ (r1/r(m))
BY
{ (RWO "rsum-empty" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  X  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  MetricSpace
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcomplete(X  i)
4.  prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))))  \mmember{}  metric(i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i))))
5.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
6.  mcauchy(prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))));n.x  n)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcauchy(snd((X  i));n.x  n  i)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  \mexists{}y:fst((X  i)).  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  y
9.  f  :  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  i  =  f  i
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  k  =  0
13.  n  :  \mBbbN{}
14.  0  \mleq{}  n
\mvdash{}  \mSigma{}\{(snd((X  i)))  (x  n  i)  (f  i)  |  0\mleq{}i\mleq{}-1\}  \mleq{}  (r1/r(m))


By

---

Latex:
(RWO  "rsum-empty"  0  THEN  Auto)

---

Home Index